Medir distancias astronómicas es un trabajo curioso. No puedes coger un metro y estirarlo hasta la Luna (ni mucho menos hasta otra galaxia). Entonces ¿cómo calculan los astrónomos estas distancias?

Empecemos por la más «sencilla», la distancia a la Luna que midió por primera vez (con éxito) en el siglo II A.C. Hiparco de Nicea, sin telescopio (Galileo fabricó el primero útil a principios del siglo XVII), sin rayos láser (Theodore Maiman en 1960) y ¡sin Wikipedia!

¿Quieres saber cómo lo hizo?

(Nota: esta entrada es larga. Y te será más fácil seguirla con papel, lápiz y paciencia. Confío en que te merezca la pena.)

Hiparco solo contaba con su vista y con su ingenio para calcular la distancia a la que orbitaba la Luna. Y eso es lo mismo que tenemos nosotros, así que podemos reconstruir sus cálculos ¿Qué vemos cuando miramos la Luna?

Pues vemos un círculo de aproximadamente medio minuto de radio. Es decir, que en la circunferencia de su órbita, cabrían 650 diámetros lunares.

Puesto en lenguaje matemático (para poder operar con este dato luego), la longitud de la órbita lunar es  2π·DL (siendo DL la distancia Tierra-Luna) y el diámetro de la Luna es dos veces su radio (RL = radio lunar). Luego la expresión «algebraica» de esta observación es

2·RL = (2π·DL)/650

De momento es fácil. Aunque pueda parecerle a un pesimista que no hemos avanzado; queríamos calcular DL y ahora tenemos otra incógnita RL. Pero un optimista pensaría «Mira qué bien, además de saber la distancia Tierra-Luna (DL), averiguaré también el tamaño del radio de la Luna (RL)».

Seamos optimistas y busquemos más datos que nos permitan conocer ahora el radio de la Luna. Y para ello Hiparco se fijó en los eclipses.

En un eclipse de Sol la Luna apenas tapa unos segundos el disco solar. En otros, los eclipses anulares, se deja ver un pequeño anillo de Sol alrededor de la sombra de la Luna. Y de todo esto, ¿qué podemos deducir?

Pues dos datos importantes. El primero nos parecerá obvio (pero en el siglo II A.C. eran detallistas con las demostraciones), como la Luna pasa por delante del Sol en los eclipses solares, es evidente que la Luna está más cerca de la Tierra que el Sol. No sabemos cuánto, pero está más cerca.

Es importante eso de «no sabemos cuanto más cerca». Ahora sabemos dónde está el Sol, pero simplemente observando el cielo resulta imposible decir si el Sol está millones de kilómetros más atrás que la Luna o apenas unos cientos de metros, pegadito a ella. Piénsalo, no es tan fácil saber que el Sol está «a tomar viento» (150 millones de kilómetros).

Y el segundo dato importante que obtenemos de los eclipses solares es que el tamaño con el que vemos la Luna es prácticamente igual al tamaño con el que vemos el Sol. De hecho, desde la Tierra vemos a ambos con un «radio angular» de 31 segundos aproximadamente (hay variaciones debido a que las órbitas son elipses, no circunferencias).

De este último dato podemos deducir que, si vemos a la Luna y al Sol del mismo tamaño, sus radios y sus distancias deben guardar una misma proporción. Vamos a comprobarlo con uno de esos triángulos que tanto gustaban a los griegos:

Durante un eclipse de sol, un observador situado en la Tierra (punto A), ve los centros de la Luna (punto D) y del Sol (punto B) alineados, así como sus extremos (representados por los puntos E y C). Digamos que la Luna, tapa exactamente el Sol.

Vamos con la trigonometría (¿quién dijo miedo?). Los triángulos ABC y ADE son «semejantes», porque están formados por rectas paralelas (AB es AD, AC es AE y BC es paralela a DE). Y como ya había demostrado Tales de Mileto 4 siglos antes, en los triángulos semejantes se cumple que:

BC/BA = DE/DA

Y si utilizamos sus equivalentes astronómicos que son los que nos interesan, tenemos que:

RS/DS = RL/DL

siendo RS el radio del Sol y DS la distancia de la Tierra al Sol. Operamos esa expresión para ponerla bonita y nos queda que:

RS = RL·DS/DL = RL·N

Es decir, que el radio del Sol es N veces el radio de la Luna, siendo N la proporción entre la distancia de la Tierra al Sol (DS) y la distancia de la Tierra a la Luna (DL).

Pues parece que en vez de avanzar vamos hacia atrás. Queríamos conocer el radio de la Luna y lo único que hemos conseguido es ponerlo en función del radio del Sol (que no conocemos) y de la distancia al Sol (que tampoco conocemos). Pero no desesperemos que todavía nos quedan los eclipses de Luna.

Los eclipses de Luna son más complicados. La Luna atraviesa el cono de sombra que proyecta la Tierra. La Luna e introduce en la sombra por un lado y vuelve a aparecer en el otro lado. Hagamos un esquema para verlo mejor:

El esquema muestra el círculo de sombra que proyecta la Tierra, de radio RT`(¡Oh no! ¡Otra incógnita!), y la Luna en tres posiciones:

• t1: cuando se inicia el eclipse y la Luna entra en la sombra.
• t2: cuando la Luna se ha ocultado completamente.
• t3: cuando la Luna comienza a salir por el otro lado de la sombra.

Como la Luna se desplaza siempre a la misma velocidad, sabemos que el tiempo que la Luna tarda en ocultarse (t1-t2) es proporcional a la distancia que recorre: su diámetro (2RL). Y que el tiempo que tarda en atravesar la sombra (t2-t3) debe ser proporcional a 2RT’-2RL (que es la distancia entre la posición de la Luna en t2 y la posición de la Luna en t3). Entonces:

2RL/(t1-t2) = (2RT’-2RL)/(t2-t3)

Hiparco midió t1, t2 y t3 en los eclipses de mayor duración. Y obtuvo que la Luna tarda en ocultarse 65 minutos y que tarda en atravesar la sombra 107 minutos (él no lo hizo en minutos, pero nos vale). Nos queda entonces que:

2RL/(2RT’-2RL) = (t1-t2)/(t2-t3) = 65/107

Vamos a «peinar» la expresión para que nos deje la relación entre RL y RT’:

2RL/(2RT’-2RL) = RL/(RT’-RL) = 65/107 ⇒

107·RL = 65·(RT’-RL) ⇒ (107+65)RL = 65RT’ ⇒

RT’ = (172/65)·RL = 2,64·RL

Pero tampoco parece que esto nos acerque a nuestro objetivo… ¿o sí?

Un momento, ¡resumamos!. Queremos calcular DL y hemos obtenido las siguientes relaciones de los datos de observación:

• Relación entre el radio lunar y la distancia a la Luna: 2·RL = (2π·DL)/650
• Relación entre el radio lunar y el solar: RS = RL·N
• Relación entre el radio lunar y el radio de la sombra de la Tierra: RT’ = 2,64·RL

Casi lo tenemos. Solo nos falta alguna relación entre el radio solar, la distancia a la luna y el radio de la sombra… ¿Se te ocurre?

Pues volvamos al eclipse de Luna, pero esta vez pongamos en el esquema también al Sol.

El esquema muestra el Sol, la Tierra y la Luna durante un eclipse de Luna. También muestra el radio solar (RS), el terrestre (RT) y el radio de la sombra de la Tierra (a la distancia de la Luna). También se muestran las distancias de la Tierra al Sol (DS) y de la Tierra a la Luna (DL). ¡Lo tiene todo! Pero… ¿cómo lo resolvemos?

Pues en este triángulo el vértice que falta a la derecha nos interesa poco. Se trata del punto donde se cruzarían el rayo de luz solar tangencial a la Tierra y a la Luna, que marca el inicio de la zona de sombra y la línea que une los centros del Sol, la Tierra y la Luna. Así que vamos a «arreglar» el triángulo trazando una paralela a esa línea que sí nos sea útil:

 

De nuevo tenemos dos triángulos semejantes (formados por paralelas). Y podemos establecer relaciones interesantes fijándonos en los triángulos ABC’ y ADE’:

E’D/C’B = DL/(DS+DL)

Y vemos que entre C y C’ la distancia es RT’. Igual que EE’. Así que E’D = RT – RT’ y C’B = RS-RT’, con lo que nos queda:

(RT-RT’)/(RS-RT’) = DL/(DS+DL)

Y de las observaciones anteriores sabemos la relación entre la distancia al Sol (DS) y la distancia a la Luna (DL). Como DS = N·DL, entonces DS+DL = (N+1)·DL y podemos seguir mejorando la expresión anterior:

(RT-RT’)/(RS-RT’) = DL/[(N+1)·DL] = 1/(N+1)

¡Y es la primera vez en todo el post que se nos simplifica algo! ¡El final está cerca! Aprovechemos la racha y quitémonos de encima el radio de la sombra de la Tierra (RT’). Como sabemos que RT’ = 2,64·RL, pues nos queda:

(RT-2,64RL)/(RS-2,64RL) = 1/(N+1)

Y también sabemos que el radio del Sol es N veces el radio de la Luna: RS = RL·N. Así que seguimos machacando la expresión y nos queda:

(RT-2,64RL)/(N·RL-2,64RL) = 1/(N+1)

Que es una expresión que nos relaciona el radio de la Tierra RT (que ya averiguó Eratóstenes y que vimos en un post anterior), el radio de la Luna RL (que es lo que queremos calcular para que nos lleve de cabeza a la distancia a la Luna) y una molesta N que morirá en breve. Un poco de aritmética y veremos la luz. Tenemos que:

(RT-2,64RL)·(N+1) = (N·RL-2,64RL)

(N+1)RT-2,64·(N+1)RL= (N-2,64)RL

(N+1)RT = (N-2,64+2,64·(N+1))RL = (N+2,64N)RL =3,64·N·RL

RL = (N+1)/(3,64·N) ·RT

Ya solo nos sobra la N, que es la relación entre la distancia a la Luna (DL) y la distancia al Sol (DS). Nosotros ya sabemos que la diferencia entre DL y DS es enorme, así que podríamos decir que N+1 es aproximadamente igual a N… pero ¡Hiparco no lo sabía!

Hiparco pudo deducir que la distancia al Sol era mucho mayor que la distancia a la Luna por el «paralaje». El paralaje es la variación de la posición aparente de un objeto debido a su distancia cuando variamos la posición de observación. Si el objeto está en el infinito (o muy lejos) el paralaje es nulo y el objeto aparece siempre en la misma dirección. Por ejemplo la posición de las estrellas no varía según desde donde las veamos. Tampoco varía la del Sol. Pero sí la de la Luna.

Hiparco fue capaz de medir el paralaje lunar, pero no el solar. Por lo que pudo deducir que el Sol, sino estaba en el infinito, sí estaba «a tomar viento». De hecho, el paralaje lunar es de casi un minuto, por lo que puede verse a simple vista, mientras que el del Sol es de poco más de 8 segundos (imposible de discernir a simple vista).

Bien, pues Hiparco supuso (con acierto) que el Sol estaba mucho más lejos que la Luna. Así que N>>1 y N+1 ≈ 1. Con lo que la expresión anterior nos queda:

RL = (N+1)/(3,64·N) ·RT = RT/3,64

Eratóstenes había establecido el radio de la Tierra en 7.300Km aproximadamente, así que el radio de la Luna debía ser de:

RL = 7.300Km/3,64 = 2.000 Km.

En realidad son 1.700 Km, lo que no está nada mal. (Hiparco no sabía si era 10km ó 10 años-luz)

Y por fin, la distancia a la Luna. Sabíamos desde el principio que 2·RL = (2π·DL)/650, así que:

DL = 1300·RL/(2π) = 414.000 Km.

Cuando en realidad, el radio medio de la órbita lunar es de 384.000 Km. Toda una proeza de observación y deducción como corresponde a un gran científico.

Si has llegado hasta el final, enhorabuena. Espero que el razonamiento seguido por Hiparco te haya resultado interesante.

Como regalo, aquí tienes una imagen de la distancia Tierra-Luna a escala:

Podrás apreciar «lo pequeños que somos» en el Cosmos.