La Ecuación de Segundo Grado

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Todos conocemos la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado (sí, sí la conoces, haz memoria):

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }

Pero… ¿sabes de dónde sale?

Hoy vamos a ver de dónde sale la fórmula que todos hemos utilizado tantas veces para resolver ecuaciones de segundo grado. Partamos de la ecuación:

a x^2+bx+c = 0

Primero, dividimos ambos términos de la ecuación por a, y tenemos:

ax^2+bx+c=0 \ \Leftrightarrow \ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

Para facilitarnos la vida, cambiaremos b/a por m y c/a por n, obtenemos:

x^2+mx+n=0 \,

x^2 + mx = -n \,

Ahora sumamos m²/4 a ambos términos de la ecuación:

x^2+mx+\frac{m^2}{4}=\frac{m^2}{4}-n

Lo hemos hecho porque lo que nos queda se parece mucho a la suma de un binomio. Así que podemos poner:

\left( x+\frac{m}{2} \right)^2=\frac{m^2}{4}-n

Ahora nos basta con despejar la x. Tenemos que:

x+\frac{m}{2} = \pm \sqrt{\frac{m^2}{4}-n}

x = \frac{-m}{2}\pm \sqrt{\frac{m^2 - 4n}{4}}

Ponemos el mismo denominador:

x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2-4n}}{2}

Deshacemos el cambio, sustituyendo m y n y obtenemos:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }

¿Eres capaz de repetirla?

Nota: Imágenes de Wikipedia. Gracias!