Solución al Enigma de la Batalla

Publicamos hoy la solución al enigma de la Batalla.

Se nota que era más difícil o daba más miedo, porque solo Miguel Romero ha llegado a la solución. ¡Enhorabuena Miguel!

De acuerdo que, según lo lees, puede parecer que el enigma no tiene solución. O al menos no tiene solución única porque no hay relación entre los porcentajes que nos indican (referidos a supervivientes) y el valor absoluto que queremos calcular (muertos).

Pero claro, si el enigma fuera conocer el número de supervivientes sabiendo que han muerto el 34% de los combatientes ¡no sería un enigma!

Intentemos probar que tiene múltiples soluciones.

Si nos hubieran dicho que el 10% de los supervivientes no fuman y el 25% no beben, podrían haber sobrevivido 20, 40, 80, 100, 120,… etc. todos los posibles números naturales para los que el 10% y el 25% son también números enteros (porque no podemos tener 6.45 combatientes) y efectivamente el problema no tendría solución única.

Pero no son esos los porcentajes del enigma >:) Los porcentajes son “curiosos” y son la clave para resolver el enigma. Los dos porcentajes que nos dan se corresponden con las siguientes fracciones:

56’565656… = 5600/99

56’756756… = 56700/999 = (simplificando) = 2100/37

Esto se llama encontrar la fracción generatriz de un número decimal periódico puro (se da en primero de la ESO) y nos facilitará encontrar números que multiplicados por ellas, nos den números naturales.

Ahora nuestro problema parece distinto; se reduce a dos condiciones:

Primera: Como ambos porcentajes aplicados al número de supervivientes (N) tiene que dar como resultado un número natural (número de supervivientes que no fuman o que no beben), tenemos que encontrar un número natural N, que multiplicado por cada una de estas fracciones nos de como resultado otro número natural.

Segunda: Ese número natural N debe ser menor que el número total de combatientes.

Para que se cumpla la primera condición N debe ser divisible entre 99 y N debe ser divisible entre 27. Es decir, N debe ser múltiplo de ambos denominadores. Y ¿cuál es el menor múltiplo que ambos tienen en común?

Pues su mínimo común múltiplo (por ejemplo), que como vimos en primaria es

37·99 = 3663

Los otros números que cumplen la primera condición son todos los demás múltiplos (3663·2 = 7326, 3663·3 = 10989, 3663·4 = …) Pero ninguno de ellos cumple la segunda condición, ser menor que 7000.

Luego ya sabemos que los supervivientes fueron 3663 (de los que 3663·56/99 = 2072 no fuman y 3663·567/999 = 2079 no beben) y por lo tanto

Los muertos fueron 7000-3663 = 3337