Aplicación Lineal

De 19E37 - Academia de Ciencias
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Una Aplicación Lineal (f) es una función entre dos Espacios Vectoriales (𝕌 y 𝕍) que cumple que:

u,v ∈ 𝕌; α, β ∈ 𝕂; f(α·u + β·v) = α·f(u) + β·f(v)
Mapa Conceptual

Subespacios Vectoriales de Aplicaciones Lineales

En toda aplicación lineal podemos definir dos subespacios especiales: el Núcleo de f (Ker f) y la Imagen de f (Img f).

Núcleo de f (Ker f)

Es el subespacio de 𝕌 formado por los vectores que tienen como imagen el vector nulo de 𝕍:

Ker f ≡ {u ∈ 𝕌/ f(u) = 0}

Imagen de f (Img f)

Es el subespacio de 𝕍 formado por los vectores que tienen son imagen de algún vector 𝕌:

Img f ≡ {v ∈ 𝕍/ ∃ u ∈ 𝕌/ f(u) = v}


Se cumple que:

dim(𝕌) = dim(Ker f) + dim(Img f)

Matriz de Aplicación Lineal

Las aplicaciones lineales pueden representarse mediante una matriz (A), de modo que, siendo f una aplicación lineal de 𝕌 en 𝕍 (f:𝕌 → 𝕍), y BU, BV bases respectivas de ambos subespacios, se cumple que:

u ∈ 𝕌, v ∈ 𝕍: v = f(u) = u · A

La matriz de una aplicación lineal se forma con las coordenadas de los vectores de la base del subespacio origen (BU) expresados respecto a la base del subespacio imagen (BV).

Matrices Equivalentes

Dos matrices se dicen equivalentes si representan la misma aplicación lineal expresada respecto a distintas bases.

Así, siendo A, la matriz de la aplicación lineal f respecto de las bases BU y BV, y siendo A' la matriz de la aplicación lineal f respecto de las bases BU' y BV', ambas son equivalentes y se relacionan mediante la expresión:

A' = P-1·A·Q

Donde P es la matriz de cambio de base de BU a BU' y Q es la matriz de cambio de base de BV a BV'.

Endomorfismo

A las aplicaciones lineales donde el subespacio de origen coincide con el subespacio imagen, se las denomina endomorfismos.

Dos matrices se dicen semejantes si representan el mismo endomorfismo respecto a distintas bases. La relación entre dos matrices semejantes se expresa como:

A' = P·A·P-1

Donde P es la matriz de cambio de base de la nueva base a la antigua.

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