Espacio Afín

De 19E37 - Academia de Ciencias
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Un Espacio Afín es una estructura algebraica formada por un Espacio Vectorial (𝕍) y un conjunto de puntos (𝔼) relacionados por una aplicación (f:𝔼x𝔼 → 𝕍) que asocia a cada par de puntos de 𝔼 un vector de 𝕍 ( \(f(A,B) = \overrightarrow{AB}\) ) y cumple que:

  1. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
  2. \(\mbox{Dados A,B} ∈ \mathbb{E}, ∃! \overrightarrow{AB} ∈ \mathbb{V} / f(A,B) = \overrightarrow{AB}\).
Mapa Conceptual


Nomenclatura

A los puntos A y B se les denomina respectivamente origen y extremo, mientras que al vector \(\overrightarrow{AB}\) se le denomina representante.

Sistema de Referencia

Un Sistema de Referencia de un espacio afín es un conjunto formado por:

  • Un punto O ∈ 𝔼.
  • Una base de 𝕍.

Los sistemas de referencia proporcionan coordenadas para los puntos de 𝔼.

Cambios de Sistema de Referencia

Es posible realizar cambios de sistemas de referencias, componiendo una traslación y un giro. Para ello se forma una matriz de cambio de sistema de referencia de tal forma que:

X' = X·R

Donde X' son las coordenadas de un punto en el nuevo sistema de referencia, X las coordenadas del punto en el sistema de referencia antiguo y R la matriz de cambio de sistema de referencia.

La matriz de cambio de sistema de referencia se forma con las coordenadas del antiguo origen de coordenadas respecto al nuevo sistema de referencia (o1, o2,...on) y la matriz de cambio de base del sistema antiguo al nuevo P. Expresando las coordenadas del punto en el nuevo sistema como (x'1, x'2,...x'n) y las antiguas como (x1, x2,...xn), tenemos que P se forma de la siguiente manera\[ \left(\begin{matrix} 1 & x'_1 & x'_2 & \cdots & x'_n \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix} 1 & o_1 & o_2 & \cdots & o_n \\ 0 & p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \\ \end{matrix}\right) \]

También pueden expresarse las ecuaciones de cambio del sistema de referencia como\[X' = O' + X·P\]

Donde:

  • X' son las coordenadas en el nuevo sistema de referencia.
  • O' son las coordenadas del nuevo centro respecto al sistema de referencia original.
  • X son las coordenadas en el sistema de referencia original.
  • P es la matriz de cambio de base (las coordenadas de los vectores del nuevo sistema en el sistema original en filas).
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