Integrales de Línea, Superficie y Volumen más habituales

De 19E37 - Academia de Ciencias
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Integrales de Línea

Integral a lo Largo de una Línea Recta Ilimitada

Situando la línea de integración sobre el eje x, nos queda\[d\vec l = dx·\vec i\]

Los límites serían desde -∞ a +∞

Integral a lo largo de una Línea Recta Ilimitada desde un Punto Exterior

Si necesitamos integrar un vector de posición desde un punto exterior a una recta, a lo largo de esa recta, siendo \(\vec r\) el vector de posición desde el punto a cada punto de la recta, obtenemos:

Dif-linea.png

Los límites de integración será desde α = 0 hasta α = π. Por lo tanto, poniendo \(\vec dl\) en función de α, nos queda\[d\vec l = dx·\vec i\]

Y \(\vec r = -\sqrt{d^2 + x^2}·cos\alpha·\vec i - d·\vec j\), siendo d la distancia del punto P a la recta y x la coordenada de cada punto de la recta.


Integral a lo largo de una Circunferencia

En este caso, tomando como centro de coordenadas el centro de la circunferencia y un ángulo creciente en el mismo sentido que \(d\vec l\), nos queda\[d\vec l = -dl·sen\alpha·\vec i + dl·cos\alpha·\vec j\]

Y \(\vec r = R(cos\alpha·\vec i + sen\alpha·\vec j)\), siendo R el radio de la circunferencia.


Integrales de Superficie

Integral en una Corona Circular

Si tenemos simetría radial, podemos integrar la superficie de una esfera definiendo un diferencial de superficie con forma de corona circular. Su longitud es 2πr y su altura dr, por lo que ds = 2πr·dr.

Integrales de Volumen

Integral en una Esfera

Podemos integrar en función del radio (si hay simetría radial) estableciendo un diferencial de volumen con forma de corona esférica, cuyo área es 4πr2 y su radio dr. Por lo tanto, el diferencial de volumen dv=4πr2·dr.

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