Propiedades Básicas de los Sistemas

De 19E37 - Academia de Ciencias
Saltar a: navegación, buscar

Vamos a relacionar algunas propiedades de los sistemas físicos, con su interpretación matemática en el ámbito de las señales.

Sistemas con y sin Memoria

Se denominan sistemas sin memoria a aquellos cuya salida en un momento dado, depende únicamente de la entrada en ese mismo instante. Es decir, y(t) no depende de t-ti o y[n] no depende de n-ni.

Los sistemas de retardo, de acumulación, etc. son sistemas con memoria. La memoria de un sistema se asocia a almacenamiento de energía.

Conceptualmente, los sistemas de adelanto, aunque pueden parecer raros físicamente, los consideraremos sistemas con memoria.

Invertibilidad y Sistemas Inversos

Un sistema es invertible si diferentes entradas producen diferentes salidas.

Como consecuencia, si un sistema es invertible, es posible conectarle otro sistema en serie a su salida de forma que la señal resultante del conjunto sea igual a la señal de entrada original.

Causalidad

Un sistema es causal si su salida en un momento dado solo depende de la entrada en ese momento o momentos anteriores. También se llaman sistemas no anticipativos.

Obviamente todos los sistemas sin memoria son causales.

Matemáticamente, para que un sistema sea causal, y(t) no puede depender de x(t+t0).

Utilizamos sistemas no causales para el tratamiento de señales grabadas (tratamiento de imágenes, análisis bursátiles, etc.).

Estabilidad

Un sistema es estable si señales no divergentes dan respuestas no divergentes. Es decir, que ningún valor finito de entrada genera una respuesta infinita en la salida.

Intuitivamente, un sistema es inestable si una entrada pequeña puede causar una salida cada vez más grande. Por ejemplo, empujar una bola de nieve por una pendiente.

Invariancia en el Tiempo

Un sistema es invariante en el tiempo si un corrimiento en el tiempo de la señal de entrada genera un corrimiento igual en el tiempo de la señal de salida.

Matemáticamente:

Si x(t) → y(t), entonces x1=x(t-t0) → y1 = y(t-t0).


Para comprobar si un sistema es invariante en el tiempo:

  • Calculamos y(t-t0) sustituyendo en y(t) la variable independiente de (t) por (t-t0).
  • Calculamos y1(t) sustituyendo la señal x1(t) = x(t-t0). ¡OJO! eso significa restar t0 a la variable independiente de x(t). Por ejemplo, si y(t) = x(3t) entonces y1(t) = x(3t - t0) y no x(3·(t - t0) )
  • Y vemos si son iguales.

Linealidad

Un sistema es lineal si la suma ponderada de señales de entrada genera una salida que es la suma ponderada de las señales de salida que producirían cada una de las señales de entrada en solitario. Es decir, se cumple el principio de superposición.

Matemáticamente: y(Ax1(t) + Bx2(t)) = Ay(x1(t)) + By(x2(t))

El principio de superposición se puede descomponer en dos propiedades: homogeneidad y superposición.

Para comprobar si un sistema es lineal:

  • Comprobamos la homogeneidad:
    • Creamos una señal x1(t) = A·x(t)
    • Calculamos y1(t) sustituyendo la señal x(t) por x1(t).
    • Calculamos A·y(t)
    • Si son iguales, el sistema es homogeneo.
  • Comprobamos la superposición:
    • Creamos una señal x3(t) = x1(t) + x2(t)
    • Calculamos y3(t) sustituyendo la señal x(t) por x1(t) + x2(t).
    • Calculamos y1(t) + y2(t)
    • Si son iguales, el sistema cumple la superposición.
  • Si cumple ambas propiedades, es lineal
Herramientas personales
Espacios de nombres

Variantes
Acciones
Navegación
Apuntes y Problemas
Cursos
La Academia
Herramientas