Conocer las propiedades de la TF nos ayudará a resolver más fácilmente los problemas.
Para todas estas propiedades, supondremos que \(\mathcal{F}[x(t)] = X(j\omega)\).
Linealidad
\(\mathcal{F}[A\cdot x(t)+B\cdot y(t)] = A\cdot X(j\omega)+B\cdot Y((j\omega) \)
Desplazamiento de Tiempo
\(\mathcal{F}[x(t-t_0)] = e^{-j\omega t_0}\cdot X(j\omega)\)
Conjugación y Simetría Conjugada
\(\mathcal{F}[x*(t)] = X*(-j\omega)\)
Si x(t) es Real\[X(-j\omega) = X*(j\omega)\]
Diferenciación e Integración
\(\mathcal{F}[\frac{dx(t)}{t}] = j\omega\cdot X(j\omega)\)
\(\displaystyle \mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau\right] = \frac{1}{j\omega}\cdot X(j\omega) + \pi X(0)\delta(\omega)\)
Escalamiento de Tiempo y Frecuencia
\(\mathcal{F}[a\cdot x(t)] = \frac{1}{|a|}\cdot X(\frac{j\omega}{a})\)
\(\mathcal{F}[x(-t)] = X(-j\omega)\)
Dualidad
\(\mathcal{F}[-jtx(t)] = \frac{dX(j\omega)}{\omega}\)
\(\mathcal{F}[e^{j\omega_0 t}x(t)] = X(j(\omega-\omega_0))\)
\(\mathcal{F}[-\frac{1}{jt}x(t) + \pi x(0)\delta(t)] = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)d\tau\)
En general, para cualquier par de transformadas, hay un par dual con las variables de tiempo y frecuencia intercambiadas.
Relación de Parseval
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |X(j\omega)|^2 d\omega\)
