Representación de señales aperiódicas: La transformada continua de Fourier

Si calculáramos el desarrollo de la serie de Fourier para una señal periódica, y fuéramos ampliando su periodo, veríamos que los coeficientes se van acercando. En el límite, cuando T ⇢ ∞, la sucesión de coeficientes de Fourier se convierte en la envolvente.

A esa envolvente la denominamos Transformada de Fourier y es un cambio de variable independiente, donde la señal x(t) pasa del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.

La TF puede calcularse mediante la expresión:

\(X(j\omega) = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\cdot e^{-j\omega t} dt\)

Y su operación inversa "anti-transformada de Fourier" es:

\(x(t) = \frac{1}{2\pi} \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)\cdot e^{j\omega t} d\omega\)

Convergencia de las transformadas de Fourier

Para que exista TF de una señal, ésta debe cumplir las Condiciones de Dirichlet:

• Ser absolutamente integrable.
• Tener un número finito de máximos y mínimos en cualquier intervalo finito.
• Tener un número finito de discontinuidades finitas en cualquier intervalo finito.