Señales Exponenciales y Senoidales

Las señales exponenciales y senoidales se utilizan para construir otras señales más complejas.

Señales Continuas Exponencial Compleja y Senoidal

Señales Senoidales

Señal Senoidal

Tienen la expresión x(t) = A cos(ωt + ϕ). También se escriben como x(t) = A cos(2πf + ϕ)

Estas señales también son periódicas con periodo T=2π/ω.

Señales Exponenciales

Exponencial Real Creciente

Exponencial Real Decreciente

Tienen la expresión x(t) = C·e^at.

Exponencial Real

Si C, a ∈ ℝ, entonces se denomina Señal Continua Exponencial Real. Y puede ser:

• Creciente: a > 0.
• Decreciente: a < 0.

Exponencial Compleja

Si a ∈ ℂ y C ∈ ℝ la señal será (haciendo a = jω) x(t) = C·e^jωt

Estas son señales periódicas, pues x(t) = e^jωt = e^jω(t+T) = e^jωt·e^jωT. Y esto se cumple siempre porque e^jωT valdrá 1 si T = 2π/ω (por la definición de exponencial compleja). Así que la señal es periódica con periodo T = 2π/ω.

Transformación de Exponenciales Complejas a Senoidales

Ambas expresiones describen el mismo tipo de señales y podemos utilizar una u otra indistintamente.

Para ello, utilizamos la Fórmula de Euler:

e^jωt = cos(ωt) + j sen(ωt)

De modo que:

x(t) = A cos(ωt + ϕ) ⇒ x(t) = A·Re{e^jωt+ϕ}

Y, respecto al seno:

x(t) = A sen(ωt + ϕ) ⇒ x(t) = A·Im{e^jωt+ϕ}

Exponencial Compleja General

Señal Exponencial General

Si C ∈ ℂ, podemos ponerlo en forma polar y tendremos el mismo caso. Si C = |C|·e^jΘ y a = r+jω, tenemos:

x(t) = C·e^at = |C|·e^jΘ·e^(r+jω)t = |C|·e^rt·e^j(ωt+Θ)

Donde podemos ver que tiene la forma de una función exponencial compleja (periódica) multiplicada por una exponencial.

Energía de las Señales Exponenciales Complejas y Senoidales

Estas señales tienen:

• Energía Total infinita.
• Energía Promedio finita.

Señales Discretas Exponencial Compleja y Senoidal

Para el caso de señales discretas, tenemos:

• Señal Discreta Senoidal: x[t] = A cos(ωn + ϕ)
• Señal Discreta Exponencial Compleja: x[n] = Caⁿ, C, α ∈ ℂ. También podemos expresarla, haciendo α = e^β como x[n] = Ce^βn
  • Señal Discreta Exponencial Real: x[n] = Caⁿ, C, α ∈ ℝ. En este caso, si α<0, el signo de x[n] se alterna.

Diferencias

Así como las similitudes entre las señales exponenciales y senoidales continuas y discretas son evidentes, las diferencias que existen entre ellas pueden pasar inadvertidas.

Así, de la señal x(t) = e^jωt hemos visto que:

• Cuanto mayor sea ω, más rápidamente oscila la señal.
• Es periódica para cualquier valor de ω.

Respecto a la velocidad de oscilación

La señal x[n] = e^jωn se repite para valores de ω fuera del intervalo (-π,π), pues:

x[n] = e^j(ω+2π)n = e^jωn·e^j2π = e^jωn

Eso hace que la velocidad de oscilación no se incremente con ω, sino que incrementando ω a partir de cero, la velocidad de oscilación se va incrementando hasta que ω=π, momento en el que empieza a disminuir hasta llegar a ω=2π, que produce la misma señal que ω=0.

En resumen, la señal exponencial discreta será de baja frecuencia si ω es próxima a 0 o un múltiplo par de π. Y será de alta frecuencia si ω es próxima a un número impar de veces π. En concreto, para ω = π, x[n] = e^jωn = (-1)ⁿ, oscilando a cada elemento.

Respecto a la periodicidad

Para que la señal exponencial discreta sea periódica, debe cumplirse que:

e^jω(n+N) = e^jωn ⇒ e^jωN = 1 ⇒ ωN = 2πm con m ∈ ℕ

Luego para que x[n] sea periódica ω/2π ∈ ℚ.

Y su periodo fundamental será N = 2π·m/ω con m ∈ ℕ.

Aplicación a las señales senoidales

Estas mismas consideraciones se aplican a las señales senoidales discretas.