Serie de Fourier y sistemas LTI

Se conoce como respuesta en frecuencia de un sistema a su respuesta ante una entrada exponencial compleja pura:

\(H(j\omega) = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} h(t)\cdot e^{-j\omega t}dt\)

En el caso discreto:

\(H(e^{j\omega}) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n]\cdot e^{-j\omega n}\)

Como podemos expresar casi cualquier señal continua como una combinación de exponenciales complejas (su serie de Fourier), calcular la salida de un sistema LTI será más sencillo utilizando su respuesta en frecuencia y calcular su salida también como una serie de Fourier:

\(x(t) = \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\cdot e^{j\omega_0t} \Rightarrow y(t) = \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\cdot H(e^{jk\omega_0})\cdot e^{jk\omega_0t}\)

Y en el caso discreto:

\(x[n] = \displaystyle \sum_{k=(N)} a_k\cdot e^{jk\frac{2\pi}{N}n} \Rightarrow y[n] = \displaystyle \sum_{k=(N)} a_k\cdot H(e^{jk\frac{2\pi}{N}})\cdot e^{jk\frac{2\pi}{N}n}\)