Sumas de Riemann
La Suma de Riemann nos permite calcular una integral como el límite de un sumatorio, según la siguiente expresión\[\displaystyle \int_a^b f(x) dx = \underset {n\to \infty}{\lim} \frac{b-a}{n} ·\sum_{k = 1}^n f(x_k) \]
Siendo \(x_k = a + k· \frac{b-a}{n}\)
Si en lugar de hacer que n tienda a infinito, sumamos un número finito de términos, el error cometido al aproximar la integral por la suma de Riemann será\[\displaystyle \left|\frac{b-a}{n} ·\sum_{k = 1}^n f(x_k) - \int_a^b f(x) dx \right| < M·\frac{(b-a)^2}{2n} \]
Siendo M el valor absoluto máximo de la derivada de f(x) en el intervalo [a,b]. \(M = \mbox{máx}|f'(x)|, ~ x \in [a,b]\)
Sumatorios Conocidos
- Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética:
\[\displaystyle \sum_{i = 1}^n a_i = n·\frac{a_1 + a_n}{2}\] \[\displaystyle \sum_{i = 1}^n i = \frac{n·(n+1)}{2}\]
- Suma de n términos de una progresión aritmética\[\sum^n_{i = m} i = \frac{n ( n + 1 ) - m ( m - 1 )}{2}\]
- Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica:
\[\displaystyle \sum_{i = 1}^n a_1·r^{n-1} = a_1·\frac{r^n - 1}{r-1}\]
- Suma de los primeros n cuadrados\[\sum^n_{i = 1} i^2 = \frac{n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )}{6}\]
- Suma de los primeros n cubos\[\sum^n_{i = 1} i^3 = \left(\frac{n ( n + 1 )}{2}\right)^2\]
- Suma de las primeras n potencias de 4\[\sum^n_{i = 1} i^4 =\frac{n (n + 1) (2n + 1) (3n^2 + 3n - 1)}{30}\]
