Transformaciones de la Variable Independiente

De 19E37 - Academia de Ciencias
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Mediante la aplicación de transformaciones a la variable independiente de una señal, se facilita el estudio y análisis de la misma.

Ejemplos de Transformaciones de la Variables Independiente

  • Corrimiento de Tiempo: Se produce aplicando la transformación x'(t) = x(t - t0) o x'[n] = x[n-t0].
    • Retardo: Si t0 > 0. La señal transformada está retrasada respecto a la original (desplazada a la derecha en el eje t).
    • Adelanto: Si t0 < 0. La señal transformada está adelantada respecto a la original (desplazada a la izquierda en el eje t).
  • Inversión de Tiempo: x'(t) = x(-t) o x'[n] = x[-n]. El efecto es el "reflejo" de la señal respecto al eje vertical.
  • Escalamiento de Tiempo: x'(t) = x(kt) o x'[n] = x[kn]. El efecto es que la señal transformada es "más rápida" (si k>1) que la original o "más lenta" (si 0<k<1).
  • Mixta: Cualquier combinación es posible. Por ejemplo x'(t) = x(αt + β) o x'[n] = x[αn + β], que puede producir una combinación de los tres efectos anteriores al mismo tiempo.

La transformación de señales puede corresponder a un fenómeno físico, como el eco (retardo).

Señales Periódicas

Una señal es periódica si:

x(t) = x(t+kT), ∀ k ∈ ℤ
x[n] = x[n+kT], ∀ k ∈ ℤ

Donde el menor T que cumple la condición se denomina periodo fundamental de la señal.

Esta definición no es válida si la señal es constante.

Matemáticamente:

La señal continua x(t) es periódica si ∀ t ∈ ℝ, ∃! T ∈ ℝ / x(t+T) = x(t).

La señal discreta x[n] es periódica si ∀ n ∈ ℕ, ∃! N ∈ ℕ / x[n+N] = x[n].

Señales Compuestas

Para que la suma de dos señales sea periódica, es condición necesaria que cada una de sus componentes sea periódica. Y además, entre sus periodos debe existir una razón racional (es decir, T1/T2 = m/n donde m, n ∈ ℕ).

Señales Par e Impar

  • Par: x(-t) = x(t); x[-n] = x[n].
  • Impar: x(-t) = -x(t); x[-n] = -x[n] ⇒ x(0) = 0; x[0] = 0.

Nota: Cualquier señal puede descomponerse en la suma de una señal par y otra impar:

x(t) = 1/2[x(t) + x(-t)] + 1/2[x(t) - x(-t)]
x[n] = 1/2(x[n] + x[-n]) + 1/2(x[n] - x[-n])

Donde el primer sumando es una señal par y el segundo es una señal impar.

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