Aplicación Lineal
Una Aplicación Lineal (f) es una función entre dos Espacios Vectoriales (𝕌 y 𝕍) que cumple que:
Contenido
Subespacios Vectoriales de Aplicaciones Lineales
En toda aplicación lineal podemos definir dos subespacios especiales: el Núcleo de f (Ker f) y la Imagen de f (Img f).
Núcleo de f (Ker f)
Es el subespacio de 𝕌 formado por los vectores que tienen como imagen el vector nulo de 𝕍:
Imagen de f (Img f)
Es el subespacio de 𝕍 formado por los vectores que tienen son imagen de algún vector 𝕌:
Se cumple que:
Matriz de Aplicación Lineal
Las aplicaciones lineales pueden representarse mediante una matriz (A), de modo que, siendo f una aplicación lineal de 𝕌 en 𝕍 (f:𝕌 → 𝕍), y BU, BV bases respectivas de ambos subespacios, se cumple que:
La matriz de una aplicación lineal se forma con las coordenadas de los vectores de la base del subespacio origen (BU) expresados respecto a la base del subespacio imagen (BV).
Matrices Equivalentes
Dos matrices se dicen equivalentes si representan la misma aplicación lineal expresada respecto a distintas bases.
Así, siendo A, la matriz de la aplicación lineal f respecto de las bases BU y BV, y siendo A' la matriz de la aplicación lineal f respecto de las bases BU' y BV', ambas son equivalentes y se relacionan mediante la expresión:
Donde P es la matriz de cambio de base de BU a BU' y Q es la matriz de cambio de base de BV a BV'.
Endomorfismo
A las aplicaciones lineales donde el subespacio de origen coincide con el subespacio imagen, se las denomina endomorfismos.
Dos matrices se dicen semejantes si representan el mismo endomorfismo respecto a distintas bases. La relación entre dos matrices semejantes se expresa como:
Donde P es la matriz de cambio de base de la nueva base a la antigua.