Condiciones de Contorno del Campo Electromagnético

Si tenemos dos medios homogéneos e isótropicos, con distintos valores de permitividad eléctrica (ε) y permeabilidad magnética (μ); en la superficie de separación entre ambos se cumplen las siguientes condiciones de contorno:

• Las componentes normales de las intensidades de campo eléctrico difieren en la carga libre superficial \(:\hat n · (\vec D_1 - \vec D_2) = \rho_S\)
• Las componentes normales de los campos magnéticos son iguales \(:\hat n · (\vec B_1 - \vec B_2) = 0\)
• Las componentes tangenciales de los campos eléctricos son iguales \(:\hat n \times (\vec E_1 - \vec E_2) = 0\)
• Las componentes tangenciales de las intensidades de campo magnético difieren en la densidad de corriente laminar \(:\hat n \times (\vec H_1 - \vec H_2) = \vec K\)

Referencias

- Electromagnetismo Aplicado. Martin A. Plonus.

Demostración de la Primera Condición

Supongamos dos medios contiguos, homogéneos e isotrópicos con valores de permitividad eléctrica ε₁ y ε₂ y permeabilidades magnéticas μ₁ y μ₂.

Partiendo de la primera ecuación de Maxwell\[\vec \nabla · \vec D = ρ\]

Tomamos un volumen V cilíndrico con tapas paralelas a la superficie de separación entre ambos medios y de altura h perpendicular a la superficie de separación. Se cumple entonces que\[\displaystyle \int_V \vec \nabla · \vec D ·dV = \int_V ρ ·dV\]

Aplicando el Teorema de Gauss-Ostrogadsky al término de la izquierda obtenemos que\[\displaystyle \int_V \vec \nabla · \vec D ·dV = \oint_S \vec D·d\vec S = \int_V ρ ·dV\]

Donde S es la superficie que limita al volumen V. Ahora hacemos que h tienda a 0 dejando el volumen V reducido a un diferencial de h y la superficie S reducida a las dos tapas del cilindro S₁ y S₂\[\underset {h\to 0}{\lim} \, \, \oint_S \vec D·d\vec S = \underset {h\to 0}{\lim} \, \, \int_V ρ ·dV\]

El primer término de la igualdad queda reducido a la suma del flujo de H por cada una de las superficies. Como cada una de las superficies está en un medio distinto\[\int_{S_1} \vec D_1·d\vec S_1 + \int_{S_2} \vec D_2·d\vec S_2 = \underset {h\to 0}{\lim} \, \, \int_V ρ ·dV\]

En el segundo término, la integral de la densidad de carga queda reducida a la integral de la densidad de carga superficial que exista en la superficie de separación S entre ambos medios. Hay que recordar que el término se refiere a la carga libre (y no a la carga que pudiera aparecer en un dieléctrico por la existencia de campo eléctrico)\[\int_{S_1} \vec D_1·d\vec S_1 + \int_{S_2} \vec D_2·d\vec S_2 = \int_S ρ_S ·dS\]

Ahora utilizaremos el vector \(\hat n\) (normal a la superficie S₁) para descomponer los vectores de intensidad de campo en sus componentes normal y tangencial a la superficie. Así\[\vec D = \hat n · \vec D + \hat n \times \vec D = \vec D_N + \vec D_T\]

Por lo tanto\[\displaystyle \int_{S_1} \vec D_1·d\vec S_1 = \int_{S_1} (\vec D_N + \vec D_T)· d\vec S_1 = \int_{S_1} \vec D_N · d\vec S_1 + \int \vec D_T· d\vec S_1\]

Como la componente tangencial del vector D es perpendicular a la normal de la superficie, el producto escalar de D_T y el vector del diferencial de superficie es nula\[\displaystyle \int_S \vec D_T· d\vec S = 0\]

Esto se cumple en ambas superficies por lo tanto\[\displaystyle \int_{S_1} \vec D_1·d\vec S_1 + \int_{S_2} \vec D_2·d\vec S_2 = \int_{S_1} \vec D_{1_N} · d\vec S_1 + \int_{S_2} \vec D_{2_N} · d\vec S_2 = \int_S ρ_S ·dS\]

Para resolver las integrales reducimos la superficie S al área hasta que la intensidad de campo eléctrico ni la densidad de carga varíen, y sabiendo que la componente normal de la intensidad de campo eléctrico es perpendicular al vector de superficie (obviamente), que el vector de superficie es saliente al volumen y por lo tanto \(d\vec S_1 = -d\vec S_2\), nos queda\[\int_{S_1} \vec D_{1_N} · d\vec S_1 + \int_{S_2} \vec D_{2_N} · d\vec S_2 = D_{1_N} · S_1 - D_{2_N} · S_2 = ρ_S · \int_S dS = ρ_S · S\]

Como todas las superficies son iguales (en módulo) S = S₁ = S₂, nos queda\[D_{1_N} - D_{2_N} = ρ_S\]

O lo que es lo mismo\[\hat n · (\vec D_1 - \vec D_2) = ρ_S\]

Demostración de la Segunda Condición

La segunda condición de contorno se obtiene de la segunda ecuación de Maxwell (\(\vec \nabla · \vec B = 0\)) procediendo análogamente a la demostración anterior:

\[\vec \nabla · \vec B = 0\]

Integrando en el volumen cilíndrico V:

\[\displaystyle \int_V \vec \nabla · \vec B · dV = 0\]

Aplicando el Teorema de Gauss-Ostrogadsky:

\[\displaystyle \int_S \vec B · dS = 0\]

Hacemos que la altura del cilindro (h) tienda a cero, con lo que el flujo del campo magnético queda reducido a:

\[\displaystyle \int_{S_1} \vec B_1 · dS_1 + \int_{S_2} \vec B_2 · dS_2 = 0\]

Descomponiendo en las componentes normales y tangenciales y aplicando el hecho de la componente tangencial no general flujo a través de las superficies S₁ y S₂ (por ser tangencial a ellas el producto escalar con el vector diferencial de superficie es nulo) queda:

\[\displaystyle \int_{S_1} \vec B_{N_1} · dS_1 + \int_{S_2} \vec B_{N_2} · dS_2 = 0\]

Limitando el área a integrar a aquella en la que las componentes normales de los vectores de campo magnético permanecen constantes, teniendo en cuenta que estas componentes tienen la misma dirección que los vectores de diferencial de área y que ambos vectores de diferencial de área son opuestos, nos queda:

\[\displaystyle \vec B_{N_1} · S_1 - \vec B_{N_2} · S_2 = 0\]

Como ambas áreas son iguales, podemos establecer que:

\[\displaystyle \vec B_{N_1} - \vec B_{N_2} = 0\]

O lo que es lo mismo:

\[\hat n · (\vec B_1 - \vec B_2) = 0\]

Demostración de la Tercera Condición

Para demostrar la tercera condición partiremos de la tercera ecuación de Maxwell\[\vec \nabla \times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}\]

Pero en este caso la integraremos en una superficie rectangular S, situada perpendicularmente a la superficie de separación entre ambos medios y de base l y altura h.

\[\displaystyle \int_S \vec \nabla \times \vec E · d\vec S= - \int_S \frac{\partial \vec B}{\partial t}· d\vec S\]

Aplicando el Teorema de Stokes transformamos la integral de superficie del término izquierdo en la circulación del vector de campo eléctrico a lo largo de la línea que limita S (y que llamaremos C).

\[\displaystyle \int_C \vec E · d\vec C= - \int_S \frac{\partial \vec B}{\partial t}· d\vec S\]

Ahora reduciremos la altura de S haciendo que h tienda a infinito:

\[\underset {h\to 0}{\lim} \, \displaystyle \int_C \vec E · d\vec C = -\underset {h\to 0}{\lim} \, \int_S \frac{\partial \vec B}{\partial t}· d\vec S\]

Con lo que la integral de circulación queda reducida a la integral de línea en ambas bases (l₁ y l₂) que tienen sentidos opuestos:

\[\displaystyle \int_{l_1} \vec E_1 · d\vec {l_1} + \int_{l_2} \vec E_2 · d\vec {l_2} = -\underset {h\to 0}{\lim} \, \int_S \frac{\partial \vec B}{\partial t}· d\vec S\]

Al mismo tiempo, al reducir el área a cero la integral de área de la derivada del campo magnético del término derecho, queda reducida a cero:

\[\displaystyle \int_{l_1} \vec E_1 · d\vec {l_1} + \int_{l_2} \vec E_2 · d\vec {l_2} = 0\]

Descomponemos los vectores de campo eléctricos en 1 y 2 en sus componentes tangencial y normal a la superficie de separación.

\[\displaystyle \int_{l_1} (\vec E_{N_1} + \vec E_{T_1}) · d\vec {l_1} + \int_{l_2} (\vec E_{N_2} + \vec E_{T_2}) · d\vec {l_2} = 0\]

Como las componentes normales son normales al vector de diferencial de línea, su producto escalar será nulo, por lo que nos queda:

\[\displaystyle \int_{l_1} \vec E_{T_1} · d\vec {l_1} + \int_{l_2} \vec E_{T_2} · d\vec {l_2} = 0\]

Y al ser perpendiculares y de sentidos contrarios:

\[E_{T_1} · l_1 - E_{T_2} · l_2 = 0\]

Y por último, al ser l₁ = l₂:

\[E_{T_1} - E_{T_2} = 0\]

Que también puede expresarse como:

\[\hat n \times (\vec E_1 - \vec E_2) = 0\]

Demostración de la Cuarta Condición

La cuarta condición de contorno se obtiene de la cuarta ecuación de Maxwell:

\[\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\]

Realizamos la misma integral para una superficie perpendicular que en el caso anterior:

\[\displaystyle \int_S \vec{\nabla} \times \vec{H} ·d\vec S= \int_S (\vec{J} +\frac{\partial \vec{D}}{\partial t})·d\vec S\]

Aplicamos el Teorema de Stokes al término izquierdo:

\[\displaystyle \int_C \vec{H} ·d\vec C= \int_S \vec{J} ·d\vec S + \int_S \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}·d\vec S\]

De nuevo hacemos tender la altura de S a cero:

\[\underset{h \to 0}{\lim} \,\displaystyle \int_C \vec{H} ·d\vec C= \underset{h \to 0}{\lim} \, \int_S \vec{J} ·d\vec S + \underset{h \to 0}{\lim} \, \int_S \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}·d\vec S\]

La circulación queda reducida a la suma de las integrales de línea de las bases:

\[\displaystyle \int_{l_1} \vec{H_1} ·d\vec {l_1} + \int_{l_2} \vec{H_2} ·d\vec {l_2}= \underset{h \to 0}{\lim} \, \int_S \vec{J} ·d\vec S + \underset{h \to 0}{\lim} \, \int_S \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}·d\vec S\]

En el término derecho, la integral de área de la derivada de la intensidad de campo eléctrico, al reducir el área a cero, es nula. Pero la integral de la densidad de corriente queda reducida a la densidad de corriente superficial que circula por la superficie de separación y que llamaremos \(\vec K\)

\[\displaystyle \int_{l_1} \vec{H} ·d\vec {l_1} + \int_{l_2} \vec{H} ·d\vec {l_2}= \int_l \vec K · d\vec l\]

Descomponiendo la intensidad de campo magnético en sus componentes tangencial y normal y considerando que la componente normal es perpendicular al vector de diferencial de longitud (y por lo tanto tienen producto escalar nulo), obtenemos que:

\[\displaystyle \int_{l_1} \vec{H_{1_T}} ·d\vec {l_1} + \int_{l_2} \vec{H_{2_T}} ·d\vec {l_2} = \int_l \vec K · d\vec l\]

Resolvemos las integrales:

\[H_{1_T} ·l_1 + H_{2_T} ·l_2 = K · l\]

\[H_{1_T} - H_{2_T} = K \]

Que puede expresarse como:

\[\hat n \times (\vec H_1 - \vec H_2) = \vec K\]