Continuidad
Una función \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) es continua en un punto de su dominio a, si y solo si se cumplen dos condiciones:
- \(\exists ~f(a)\).
- \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = f(a)\).
Contenido
Tipos de Discontinuidad
Existen tres tipos de discontinuidades:
- Discontinuidad Evitable: cuando \(\exists ~f(a)\mbox{ y }\exists\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) \), pero \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) \not= f(a)\).
- Discontinuidad No Evitable (o esencial): donde tenemos dos subtipos:
- Discontinuidades de Salto: donde tenemos tres subtipos:
- Discontinuidad de Salto Finito: cuando \(\displaystyle \lim_{x\to a-} f(x) \not= \lim_{x\to a+} f(x)\) y ambos son finitos.
- Discontinuidad de Salto Infinto: cuando uno de los límites laterales es infinito.
- Discontinuidad Asintótica: cuando ambos límites laterales son infinitos.
- Discontinuidades No Evitable de Segundo Grado: cuando f(x) no está definida a uno de los dos lados de a y por lo tanto no existe ese límite lateral.
- Discontinuidades de Salto: donde tenemos tres subtipos:
Más información en http://es.wikipedia.org/wiki/Clasificación_de_discontinuidades.
Teoremas de Continuidad
Teorema de Bolzano
Si \(f: [a,b] \in \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) es continua y f(a)·f(b) < 0 (es decir, tienen signos contrarios) entonces existe algún punto c ∈ [a,b], tal que f(c) = 0.
Teorema del Valor Intermedio (de Darboux)
Si \(f: [a,b] \in \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) es continua, entonces \(\forall λ \in [f(a),f(b)] ~\exists ~c\in[a,b];~f(c)=λ\)
Teorema de Weierstrass
Si \(f: [a,b] \in \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) es continua, entonces alcanza el máximo y el mínimo en el intervalo [a,b], es decir, \[\exists~x_1, x_2 \in[a,b];~ f(x_1)<f(x)<f(x_2)~\forall~x\in[a,b]\]
Monotonía
Una función \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) es monótona creciente en a, si existe un entorno de a (a-r, a+r) en el que si a-r < x < a < y <a+r ⇒ f(x) ≤ f(a) ≤ f(y).
La definición de monótona decreciente es idéntica cambiando los signos por ">".
Si los signos son estrictamente menor (<) o estrictamente mayor (>), decimos que la función es monótona estrictamente creciente o decreciente en a.