Continuidad en Funciones de Dos Variables

Una función \(f:\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}\) es continua en un punto de su dominio (a,b), si y solo si se cumplen dos condiciones:

1. \(\exists ~f(a,b)\).
2. \(\displaystyle \lim_{(x,y)\to (a,b)} f(x,y) = f(a,b)\).

Pero calcular el límite de una función de dos variables no es tan fácil como parece.

Definición de Límite

Decimos que: \[ \begin{array}{l} \underset {(x,y)\to (a,b)}{\lim} \, \, f(x,y) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|(x,y)-(a,b)|<\delta \longrightarrow |f(x,y)-L|<\varepsilon \end{array} \]

Podemos así calcular el límite de una función f(x,y) encontrando la relación entre δ y ε.

Ejemplo

Sea f(x,y) = x + y. Calcular su límite para el punto (1,1).

Sabemos que f(1,1) = 2, nuestro candidato a límite. \[ \begin{array}{l} \underset {(x,y)\to (1,1)}{\lim} \, \, f(x,y) = \underset {(x,y)\to (1,1)}{\lim} \, \, x + y \end{array} \] Aplicando la definición\[\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|(x,y)-(1,1)|<\delta ; 0<\sqrt{(x-1)^2-(y,1)^2}<\delta \longrightarrow |f(x,y)-2|<\varepsilon \] es decir, |x+y-2| < ε

\[|x+y-2| = |(x-1) + (y-1)| ≤ |x-1| + |y-1| ≤ \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}+sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} < 2 δ\]

Pues con tomar δ = 2ε vemos que L = 2 cumple la definición.

Cálculo de Límites por Polares

Como aplicar la definición es, en muchos casos, difícil; podemos optar por pasar la función a coordenadas polares para calcular su límite en (0,0). Si el punto donde calcular el límite no está en (0,0) siempre podemos hacer una traslación de la función.

En polares, el límite "se reduce" a calcular en límite de f cuando ρ tiende a cero, haciendo así un límite en una única variable. Si el resultado es dependiente del ángulo θ entonces podemos afirmar que el límite no existe (porque no es único y depende de la dirección de aproximación al punto). Sin embargo, si el límite no depende de θ entonces el valor obtenido corresponde al valor del límite de la función f(x,y).

Límites Direccionales

Los límites direccionales nos permiten obtener un candidato a límite o, si son distintos, demostrar la inexistencia del límite en un punto.

Para ello, basta con aplicar alguna dirección de aproximación al punto (x=0, y=0 o el caso genérico y=mx). Si los límites obtenidos en cualquiera de ellos son diferentes o dependen de m, entonces podemos afirmar que el límite buscado no existe. Pero, si todos los límites direccionales coinciden, NO podemos garantizar la existencia de límite, simplemente sabríamos que, si el límite de f(x,y) en el punto existe, coincide con el valor obtenido.

Límites Reiterados

Al igual que con los límites direccionales, los límites reiterados solo nos permiten obtener un candidato a límite o, si difieren, afirmar la inexistencia del límite buscado.

Para calcularlos basta con calcular: \[ \begin{array}{l} \underset {x\to a}{\lim} \, \, \underset {y\to b}{\lim} f(x,y) \end{array} \]

Y: \[ \begin{array}{l} \underset {y\to b}{\lim} \, \, \underset {x\to a}{\lim} f(x,y) \end{array} \]

considerando en cada límite a la otra variable como constante.