Definición de Números Complejos

De 19E37 - Academia de Ciencias
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Los números complejos son una extensión de los números reales (es decir, les incluyen) que se define como\[\mathbb{C} ≡ \{z = (a,b) : a,b ∈ \mathbb{R}\}\]

Es decir, cada número complejo está formado por dos números reales. Al primero de ellos le llamamos parte real (y se representa como Re{z}) y al segundo parte imaginaria (y se representa como Im{z}).

Al tener dos dimensiones, los números complejos pueden representar cualquier punto del plano. Al punto del plano asociado a un número complejo se le llama afijo.

Llamamos conjugado de un número complejo al número complejo que resulta al cambiar de signo la parte imaginaria.

Si un número complejo no tiene parte imaginaria, es un número real. Y si no tiene parte real, decimos que es imaginario puro.

Origen

Los números complejos permiten resolver la ecuación\[x^2 = -1 \Rightarrow x = \sqrt{-1}\]

Pues definen el número imaginario \(i = \sqrt{-1}\). Es decir, la solución a esa ecuación es el número complejo (0,1), con 0 como parte real y 1 como parte imaginaria.

Representación

Hay tres formas habituales de representar un número complejo:

Representación Binómica

Es la más habitual. Consiste en sumar la parte real a la parte imaginaria multiplicada por i.

Así, el número complejo z = (3,4) tiene como representación binómica 3+4i.

Representación Polar

Como cada número complejo tiene su afijo en el plano, podemos representarlo por su módulo (r) y su fase en radianes (α), \(r_\alpha\). Así el número 3+4i, en coordenadas polares queda representado por 50,93.

Para pasar de coordenadas binómicas a polares\[\mbox{Sea z }∈ \mathbb{C}, z = a+bi = r_\alpha \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} r = \sqrt(a^2+b^2) \\ \alpha = atan(\frac{b}{a})\end{array}\right.\]

Un número complejo también puede representarse utilizando exponenciales complejas\[z = r·e^{i\alpha}\].

Representación Trigonométrica

También es útil representar un número complejo como el producto de su módulo por la suma del coseno y el seno de su fase (éste último multiplicado por i). Es decir\[\mbox{Sea z }∈ \mathbb{C}, z = a+bi = r_\alpha \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} r = \sqrt(a^2+b^2) \\ \alpha = atan(\frac{b}{a})\end{array}\right\}\Rightarrow z = r·(cos \alpha +i·sen \alpha)\]

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