Diferencia entre revisiones de «Derivada»

Revisión de 14:28 5 nov 2014

Se define como derivada de una función \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) en un punto a al límite\[\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)\]

Concepto Geométrico

La derivada de una función f(x) en un punto x=a es la pendiente de la recta tangente a f(x) en a.

Es decir, la tangente del ángulo que forman la curva f(x) y su recta tangente en a.

Puedes ver una representación gráfica en el Laboratorio:Derivada.

Derivadas Laterales

Se definen como derivadas laterales de f(x) en a, las siguientes: \[\displaystyle f'(a^-) = \lim_{h\to0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x\to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\] \[\displaystyle f'(a^+) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x\to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\]

Para que exista f'(a), ambas derivadas laterales deben existir y ser iguales: f'(a) = f'(a^-) = f'(a⁺).

Función Derivada

La función derivada de f(x) es la función que asigna a cada punto del dominio de f(x) en el que es derivable, el valor de su derivada.

Diferencial

Se dice que f(x) es diferenciable en a si existe un aplicación lineal (denominada (df)_a) que verifica que:

Es decir, \(\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a) - (df)_a(h)}{h} = 0\)

Derivación Implícita

Derivación Logarítmica

Derivada de una Función Vectorial

Máximos y Mínimos

Teorema de Rolle

Teorema del Valor Medio de Lagrange

Teorema del Valor Medio Generalizado de Cauchy