Diferencia entre revisiones de «Derivada»
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<math>\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a) - (df)_a(h)}{h} = 0</math> | <math>\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a) - (df)_a(h)}{h} = 0</math> | ||
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== Derivación Implícita == | == Derivación Implícita == | ||
| + | Cuando la función no está expresada explícitamente (y = f(x)) sino que tenemos una ecuación entre funciones, podemos utilizar la derivación implícita. Por ejemplo, si queremos derivar respecto de x la curva x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 1, en lugar de despejar y en función de x y aplicar las [[Derivadas | reglas de derivación]], podemos realizar una '''derivación implícita''', para ello derivamos ambos miembros de la ecuación respecto de x, teniendo en cuenta que <math>\frac{dx}{dx} = 1</math> y que <math>\frac{dy}{dx} = y'</math> y despejamos y'. | ||
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| + | :<math>\frac{d(x^2+y^2)}{dx} = \frac{d 1}{dx} \Rightarrow 2·x+2·y·y' = 0 \Rightarrow y' = \frac{-x}{y}</math> | ||
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== Derivación Logarítmica == | == Derivación Logarítmica == | ||
| + | Las propiedades de los logaritmos nos permiten calcular derivadas de funciones del tipo <math>h(x) = (f(x))^{g(x)}</math>. Para ello: | ||
| + | <math>h(x) = (f(x))^{g(x)} \Rightarrow \ln(h(x)) = g(x)·\ln(f(x))</math> | ||
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| + | Derivando implícitamente nos queda: | ||
| + | <math>\frac{1}{h(x)}·h'(x) = g'(x)·\ln(f(x)) + g(x)·\frac{1}{f(x)}·f'(x) \Rightarrow h'(x) = \left[g'(x)·\ln(f(x)) + g(x)·\frac{1}{f(x)}·f'(x)\right]·h(x) \Rightarrow h'(x) = \left[g'(x)·\ln(f(x)) + g(x)·\frac{f'(x)}{f(x)}\right]·f(x))^{g(x)} </math> | ||
== Derivada de una Función Vectorial == | == Derivada de una Función Vectorial == | ||
Revisión de 10:03 6 nov 2014
Se define como derivada de una función \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) en un punto a al límite\[\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)\]
Contenido
Concepto Geométrico
La derivada de una función f(x) en un punto x=a es la pendiente de la recta tangente a f(x) en a.
Es decir, la tangente del ángulo que forman la curva f(x) y su recta tangente en a.
Puedes ver una representación gráfica en el Laboratorio:Derivada.
Derivadas Laterales
Se definen como derivadas laterales de f(x) en a, las siguientes: \[\displaystyle f'(a^-) = \lim_{h\to0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x\to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\] \[\displaystyle f'(a^+) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x\to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\]
Para que exista f'(a), ambas derivadas laterales deben existir y ser iguales: f'(a) = f'(a-) = f'(a+).
Función Derivada
La función derivada de f(x) es la función que asigna a cada punto del dominio de f(x) en el que es derivable, el valor de su derivada.
Diferencial
Se dice que f(x) es diferenciable en a si existe un aplicación lineal (denominada (df)a) que verifica que:
Es decir, \(\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a) - (df)_a(h)}{h} = 0\)
Derivación Implícita
Cuando la función no está expresada explícitamente (y = f(x)) sino que tenemos una ecuación entre funciones, podemos utilizar la derivación implícita. Por ejemplo, si queremos derivar respecto de x la curva x2 + y2 = 1, en lugar de despejar y en función de x y aplicar las reglas de derivación, podemos realizar una derivación implícita, para ello derivamos ambos miembros de la ecuación respecto de x, teniendo en cuenta que \(\frac{dx}{dx} = 1\) y que \(\frac{dy}{dx} = y'\) y despejamos y'.
\[\frac{d(x^2+y^2)}{dx} = \frac{d 1}{dx} \Rightarrow 2·x+2·y·y' = 0 \Rightarrow y' = \frac{-x}{y}\]
Derivación Logarítmica
Las propiedades de los logaritmos nos permiten calcular derivadas de funciones del tipo \(h(x) = (f(x))^{g(x)}\). Para ello\[h(x) = (f(x))^{g(x)} \Rightarrow \ln(h(x)) = g(x)·\ln(f(x))\]
Derivando implícitamente nos queda\[\frac{1}{h(x)}·h'(x) = g'(x)·\ln(f(x)) + g(x)·\frac{1}{f(x)}·f'(x) \Rightarrow h'(x) = \left[g'(x)·\ln(f(x)) + g(x)·\frac{1}{f(x)}·f'(x)\right]·h(x) \Rightarrow h'(x) = \left[g'(x)·\ln(f(x)) + g(x)·\frac{f'(x)}{f(x)}\right]·f(x))^{g(x)} \]
