Diferencia entre revisiones de «Derivada»
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Revisión de 13:45 14 dic 2013
Se define como derivada de una función \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) en un punto a al límite\[\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)\]
Contenido
Concepto Geométrico
La derivada de una función f(x) en un punto x=a es la pendiente de la recta tangente a f(x) en a.
Es decir, la tangente del ángulo que forman la curva f(x) y su recta tangente en a.
Puedes ver una representación gráfica en el Laboratorio:Derivada.
Derivadas Laterales
Se definen como derivadas laterales de f(x) en a, las siguientes: \[\displaystyle f'(a^-) = \lim_{h\to0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x\to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\] \[\displaystyle f'(a^+) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x\to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\]
Para que exista f'(a), ambas derivadas laterales deben existir y ser iguales: f'(a) = f'(a-) = f'(a+).
Función Derivada
La función derivada de f(x) es la función que asigna a cada punto del dominio de f(x) en el que es derivable, el valor de su derivada.
Diferencial
Se dice que f(x) es diferenciable en a si existe un aplicación lineal (denominada (df)a) que verifica que:
Es decir, \(\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a) - (df)_a(h)}{h} = 0\)
