Derivada

Se define como derivada de una función \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) en un punto a al límite\[\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)\]

Concepto Geométrico

La derivada de una función f(x) en un punto x=a es la pendiente de la recta tangente a f(x) en a.

Es decir, la tangente del ángulo que forman la curva f(x) y su recta tangente en a.

Puedes ver una representación gráfica en el Laboratorio:Derivada.

Derivadas Laterales

Se definen como derivadas laterales de f(x) en a, las siguientes: \[\displaystyle f'(a^-) = \lim_{h\to0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x\to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\] \[\displaystyle f'(a^+) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x\to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\]

Para que exista f'(a), ambas derivadas laterales deben existir y ser iguales: f'(a) = f'(a^-) = f'(a⁺).

Función Derivada

La función derivada de f(x) es la función que asigna a cada punto del dominio de f(x) en el que es derivable, el valor de su derivada.

Diferencial

Se dice que f(x) es diferenciable en a si existe un aplicación lineal (denominada (df)_a) que verifica que:

f(a+h) - f(a) = (df)_a(h) + o(h)

Es decir, \(\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a) - (df)_a(h)}{h} = 0\)

Recientemente se llama diferencial a la función:\[df(x, \Delta x) \stackrel{\rm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.\]

Es decir, una función de dos variables (x y Δx).

Derivación Implícita

Cuando la función no está expresada explícitamente (y = f(x)) sino que tenemos una ecuación entre funciones, podemos utilizar la derivación implícita. Por ejemplo, si queremos derivar respecto de x la curva x² + y² = 1, en lugar de despejar y en función de x y aplicar las reglas de derivación, podemos realizar una derivación implícita, para ello derivamos ambos miembros de la ecuación respecto de x, teniendo en cuenta que \(\frac{dx}{dx} = 1\) y que \(\frac{dy}{dx} = y'\) y despejamos y'.

\[\frac{d(x^2+y^2)}{dx} = \frac{d 1}{dx} \Rightarrow 2·x+2·y·y' = 0 \Rightarrow y' = \frac{-x}{y}\]

Derivación Logarítmica

Las propiedades de los logaritmos nos permiten calcular derivadas de funciones del tipo \(h(x) = (f(x))^{g(x)}\). Para ello\[h(x) = (f(x))^{g(x)} \Rightarrow \ln(h(x)) = g(x)·\ln(f(x))\]

Derivando implícitamente nos queda\[\frac{1}{h(x)}·h'(x) = g'(x)·\ln(f(x)) + g(x)·\frac{1}{f(x)}·f'(x) \Rightarrow h'(x) = \left[g'(x)·\ln(f(x)) + g(x)·\frac{1}{f(x)}·f'(x)\right]·h(x) \Rightarrow h'(x) = \left[g'(x)·\ln(f(x)) + g(x)·\frac{f'(x)}{f(x)}\right]·f(x))^{g(x)} \]

Derivada de una Función Vectorial

Si tenemos una función vectorial\[f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R^n}\] podemos descomponerla como \(\vec f(t) = (x_1(t), x_2(t),... x_n(t))\)

La función vectorial f será derivable si son derivables cada uno de sus componentes.

Máximos y Mínimos

En los máximos y mínimos relativos de una función derivable, la derivada de la función es cero.

Para clasificar un punto x=a donde f'(a) = 0 analizamos la segunda derivada:

• Si f’'(a) > 0, entonces x = a es un mínimo relativo.
• Si f’'(a) < 0, entonces x = a es un máximo relativo.
• Si f’'(a) = 0, entonces x = a es un punto de silla.

Teorema de Rolle

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en (a,b) y tal que f(a) = f(b). Entonces, existe al menos un punto c ∈ (a,b) tal que f'(c) = 0

Teorema del Valor Medio de Lagrange

Sea \(f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\) una función continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en (a,b) y tal que f(a) = f(b). Entonces, existe al menos un punto c ∈ (a,b) tal que \[f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\]

Teorema del Valor Medio Generalizado de Cauchy

Sean \(f,g:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}\) funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Entonces exste c ∈ (a,b) tal que

f'(c)·[g(b) - g(a)] = g'(c)·[f(b) - f(a)]