Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden Lineal

De 19E37 - Academia de Ciencias
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Son ecuaciones diferenciales de la forma y' + p(x)·y = q(x).

Su solución general se forma sumando a la solución de la ecuación homogénea, una solución particular\[y_g = y_h + y_p\]

Solución de la Ecuación Homogénea

La ecuación homogénea asociada la EDOL-1 (ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden) es\[y_h' + p(x)·y_h = 0\]

Como se trata de una EDO-1 de variables separadas su solución es inmediata\[y_h' + p(x)·y_h = 0 \Rightarrow \frac{dy_h}{dx} = -p(x)·y_h \Rightarrow \frac{dy_h}{y_h} = -p(x)·dx \Rightarrow Ln|y_h| = -\displaystyle \int px(x)·dx \Rightarrow y_h(x) = C·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx}\]


Solución Particular por Variación de Parámetros

Podemos obtener una solución particular suponiendo que la constante de la solución homogénea es dependiente de x (C(x)) y obligando a que cumpla la EDOL\[y_p(x) = C(x)·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx}\]

Derivando la solución particular\[y_p' = C'(x)·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx} - C(x)·p(x)·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx}\]

Obligando a que cumpla la EDOL obtenemos\[y_p' + p(x)·y_p = q(x) \Rightarrow C'(x)·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx} - C(x)·p(x)·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx} + p(x)·C(x)·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx} = q(x)\]

Con lo que nos queda\[C'(x) = q(x)·e^{\displaystyle\int p(x)·dx} \Rightarrow y_p = \int q(x)·e^{\displaystyle\int p(x)·dx}·dx·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx}\]

Con este resultado, la solución general de la EDOL queda\[y= e^{-\displaystyle\int p(x)·dx}·\left(C+\int q(x)·e^{\displaystyle\int p(x)·dx}·dx\right)\]

Resolución por Factor Integrante

Las EDOL-1 también pueden resolverse calculando un factor integrante que las convierta en exacta (EDOE-1):

Expresada de forma diferencial obtenemos\[\frac{dy}{dx} + p(x)·y = q(x) \Rightarrow (px(x)·y - q(x))·dx + dy = 0 \Rightarrow μ(x) = e^{\displaystyle \int p(x)·dx}\]

Y la resolvemos como una EDOE-1.

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