Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell describen los fenómenos electrmagnéticos. Son cuatro y se presentan en forma diferencial e integral:

Ley de Gauss

"Las líneas de campo eléctrico nacen en las cargas positivas y mueren en las negativas"

En forma diferencial:

"La divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad de carga"

\[\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}\] \[\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho\]

Donde:

• \(\vec E\): es el vector de campo eléctrico.
• \(\vec D\): es el vector de intensidad de campo eléctrico.
• ρ: es la densidad de carga.
• ε: es la permitividad eléctrica del medio.

En forma integral:

"El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga contenida dentro de la superficie."

\[\Phi = \oint_S \vec{E} \cdot \rm{d}\vec{S} = \int_V \frac{\rho}{\varepsilon}·dv\] \[\Phi = \oint_S \vec{D} \cdot \rm{d}\vec{S} = \int_V \rho·dv\]

Donde:

• Φ: es el flujo a través de una superficie cerrada S.
• V: es el volumen contenido por la superficie S.

Ley de Gauss para Campo Magnético

"Las líneas de campo magnético no tienen principio ni fin, son siempre cerradas"

En forma diferencial:

"La divergencia del campo magnético es nula"

\[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0\] \[\vec{\nabla} \cdot \vec{H} = 0\]

Donde:

• \(\vec B\): es el vector de campo magnético o inducción magnética.
• \(\vec H\): es el vector de intensidad de campo magnético o excitación magnética.

En forma integral:

"El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es cero"

\[\Phi = \oint_S \vec{B} \cdot \rm{d}\vec{S} = 0\] \[\Phi = \oint_S \vec{H} \cdot \rm{d}\vec{S} = 0\]

Donde:

• Φ: es el flujo a través de una superficie cerrada S.
• V: es el volumen contenido por la superficie S.

Ley de Faraday-Lenz

"Un campo magnético variable en el tiempo produce un campo eléctrico incluso en ausencia de cargas, y el campo eléctrico producido es perpendicular a la variación del campo magnético"

En forma diferencial:

"El rotacional del campo eléctrico es la derivada del campo magnético con respecto al tiempo"

\[\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\]

Donde:

• \(\vec E\): es el vector de campo eléctrico.
• \(\vec B\): es el vector de campo magnético o inducción magnética.

En forma integral:

"La circulación del campo eléctrico a lo largo de una línea cerrada es opuesta a la variación del flujo de campo magnético que atraviesa la superficie encerrada por la línea"

\[fem = \oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \ { d \over dt } \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S}\]

Donde:

• fem: es la fuerza electromotriz inducida.
• L: es cualquier línea cerrada.
• S: es la superficie limitada por L.

Ley de Ampère Generalizada

"Las cargas eléctricas en movimiento y la variación temporal del campo eléctrico, generan un rotacional del campo magnético"

En forma diferencial:

"El rotacional del campo magnético es la suma de la densidad de corriente y la derivada del campo eléctrico con respecto al tiempo"

\[\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu \vec{J} + \mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\]

Donde:

• \(\vec B\): es el vector de campo magnético o inducción magnética.
• \(\vec E\): es el vector de campo eléctrico.
• \(\vec J\): es el vector de densidad de corriente eléctrica.
• ε: es la permitividad eléctrica del medio.

En forma integral:

"La circulación del campo magnético a lo largo de una línea cerrada es igual a la suma del flujo de corriente que atraviesa la superficie encerrada por la línea y la variación del flujo de campo eléctrico que atraviesa la superficie encerrada por la línea"

\[\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu \int_S \vec{J} \cdot d\vec{S} + \mu \varepsilon \frac{d}{dt} \int_S \vec{E} \cdot d\vec{S}\]

Donde:

• L: es cualquier línea cerrada.
• S: es la superficie limitada por L.

Referencias

• Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell
• El Tamiz: http://eltamiz.com/las-ecuaciones-de-maxwell/

Ver También

Condiciones de Contorno del Campo Electromagnético