Formas Bilineales
Una forma bilineal (f) es una aplicación matemática que transforma dos vectores de un espacio vectorial en un escalar verificando que es lineal en ambos argumentos.
Contenido
Definición
Sea 𝕍 un espacio vectorial y 𝕂 un cuerpo. Se define una aplicación bilineal entre 𝕍 y 𝕂 como\[f: 𝕍 \times 𝕍 \longrightarrow 𝕂\]
Generalmente 𝕍 es ℝn y 𝕂 es ℝ (o ℂ)
Toda forma bilineal verifica que:
- \(f(α\vec u_1 + β\vec u_2, \vec v) = αf(\vec u_1,\vec v) + βf(\vec u_2, \vec v)\)
- \(f(\vec v, α\vec v_1 + β\vec v_2) = αf(\vec u,\vec v_1) + βf(\vec u, \vec v_2)\)
Propiedades
De la definición se tienen las siguientes propiedades:
- \(\ f(u,0)=f(0,u)=0\)
- \(\ f(-u,v)=f(u,-v)=-f(u,v)\)
- \(\ f(\sum_i a_i u_i,\sum_j b_jv_j)=\sum_i\sum_j a_ib_j f(u_i,v_j)\)
para todo \( a\in K\) y \( u,v,u_1,u_2,v_1,v_2 \in V \)
Expresión Matricial
Toda forma bilineal puede expresarse de forma matricial como: \[\vec u · F · \vec v^t = f(\vec u, \vec v)\]
Donde:
- \(\vec u, \vec v \in \mathbb{V}\)
- F: es la matriz asociada a la forma bilineal.
F se forma con los coeficientes de los productos de las coordenadas de los vectores en la expresión de f. Por ejemplo:
Sea la forma bilineal f de ℝ2 en ℝ\[f(\vec x,\vec y) = 3 x_1 y_1 - 6 x_1 y_2 + 5 x_2 y_1 + 4 x_2 y_2 \] Su expresión matricial es\[f(\vec x, \vec y) = \vec x · F · \vec y^t = \left(\begin{matrix} x_1 && x_2 \end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix} 3 && -6 \\ 5 && 4 \end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix} y_1 \\ y_2 \end{matrix}\right) \]
Forma Bilineal Simétrica y Antisimétrica
Se dice que una forma bilinal es simétrica si cumple que f(x,y) = f(y,x)
Se dice que una forma bilinal es antisimétrica si cumple que f(x,y) = -f(y,x)
Cualquier forma bilineal puede descomponerse en la suma de una forma bilineal simétrica y una forma bilineal antisimétrica de la siguiente forma: \[f(\vec x, \vec y) = \frac{1}{2}(f(\vec x, \vec y) + f(\vec x, \vec y)) + \frac{1}{2}(f(\vec x, \vec y) - f(\vec x, \vec y))\]