Formas Bilineales
Una forma bilineal (f) es una aplicación matemática que transforma dos vectores de un espacio vectorial en un escalar verificando que es lineal en ambos argumentos.
Contenido
Definición
Sea 𝕍 un espacio vectorial y 𝕂 un cuerpo. Se define una aplicación bilineal entre 𝕍 y 𝕂 como\[f: 𝕍 \times 𝕍 \longrightarrow 𝕂\]
Generalmente 𝕍 es ℝn y 𝕂 es ℝ (o ℂ)
Toda forma bilineal verifica que:
- \(f(α\vec u_1 + β\vec u_2, \vec v) = αf(\vec u_1,\vec v) + βf(\vec u_2, \vec v)\)
- \(f(\vec v, α\vec v_1 + β\vec v_2) = αf(\vec u,\vec v_1) + βf(\vec u, \vec v_2)\)
Propiedades
De la definición se tienen las siguientes propiedades:
- \(\ f(u,0)=f(0,u)=0\)
- \(\ f(-u,v)=f(u,-v)=-f(u,v)\)
- \(\ f(\sum_i a_i u_i,\sum_j b_jv_j)=\sum_i\sum_j a_ib_j f(u_i,v_j)\)
para todo \( a\in K\) y \( u,v,u_1,u_2,v_1,v_2 \in V \)
Expresión Matricial
Toda forma bilineal puede expresarse de forma matricial como: \[\vec u · F · \vec v^t = f(\vec u, \vec v)\]
Donde:
- \(\vec u, \vec v \in \mathbb{V}\)
- F: es la matriz asociada a la forma bilineal.
F se forma con los coeficientes de los productos de las coordenadas de los vectores en la expresión analítica de f. Por ejemplo:
Sea la forma bilineal f de ℝ2 en ℝ cuya expresión analítica es\[f(\vec x,\vec y) = 3 x_1 y_1 - 6 x_1 y_2 + 5 x_2 y_1 + 4 x_2 y_2 \] Su expresión matricial es\[f(\vec x, \vec y) = \vec x · F · \vec y^t = \left(\begin{matrix} x_1 && x_2 \end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix} 3 && -6 \\ 5 && 4 \end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix} y_1 \\ y_2 \end{matrix}\right) \]
Forma Bilineal Simétrica y Antisimétrica
Se dice que una forma bilinal es simétrica si cumple que f(x,y) = f(y,x)
Se dice que una forma bilinal es antisimétrica si cumple que f(x,y) = -f(y,x)
Cualquier forma bilineal puede descomponerse en la suma de una forma bilineal simétrica y una forma bilineal antisimétrica de la siguiente forma: \[f(\vec x, \vec y) = \frac{1}{2}(f(\vec x, \vec y) + f(\vec x, \vec y)) + \frac{1}{2}(f(\vec x, \vec y) - f(\vec x, \vec y))\]
Cambios de Base y Matrices Congruentes
La matriz F asociada a la forma bilineal f generalmente está expresada respecto a la base canónica de 𝕍. Podemos expresar la forma bilineal f respecto a cualquier otra base de 𝕍 realizando un cambio de base, de forma que\[f(\vec x, \vec y) = \vec x·F·\vec y^t = \vec x·P·F·P^t·\vec y^t\]
Donde P es la matriz de cambio de base desde la base original a la nueva \((\vec x' = \vec x·P)\). Podemos ver que la matriz asociada a la forma bilineal en la nueva base es F' = P·F·Pt
A las matrices F y F' se les denomina matrices congruentes porque representan la misma aplicación bilineal respecto a dos bases distintas.
Rango
Se denomina rango de una forma bilineal al rango de cualquiera de sus matrices asociadas (congruentes).
Si |F| = 0, se dice que la forma bilineal es degenerada.
Núcleo
Se denomina núcleo de una forma bilineal al conjunto de vectores de 𝕍 cuya imagen es 0. \[\mbox{Núcleo de f } ≡ \{\vec x \in 𝕍/f(\vec x,\vec y) = 0 ~ \forall \vec y \in 𝕍\}\]
Podemos calcular el núcleo de una forma bilineal resolviendo\[\vec x · F = \vec 0\]
Conjugación
Se dice que dos vectores de 𝕍 son conjugados si cumplen que \(f(\vec x,\vec y) = 0\)
También es posible definir un subespacio vectorial \(𝕍_1 \in 𝕍\) conjugado a otro subespacio \(𝕍_2 \in 𝕍\) como el conjunto de vectores de 𝕍 que son conjugados con cualquier vector de 𝕍2. Es decir
\[𝕍_1 ≡ \{\vec x \in 𝕍/f(\vec x,\vec y) = 0 ~ \forall \vec y \in 𝕍_2\}\]
Forma Cuadrática Asociada
Toda forma bilineal f tiene una forma cuadrática asociada que se define como \(q(\vec x) = f(\vec x,\vec x)\)
Recíprocamente, toda forma cuadrática tiene asociada una forma bilineal que se denomina forma polar.