Formas Cuadráticas

Una "Forma Cuadrática" (q) es una aplicación matemática que asigna a cada elemento de un espacio vectorial, un número real, que puede expresarse mediante un polinomio de segundo grado.

\[q: \mathbb{V} \longrightarrow \mathbb{K} \]

Por ejemplo: Tomando como espacio vectorial ℝ² con las operaciones habituales de suma y producto, podemos definir la forma cuadrática\[q(x,y) = a·x^2+b·xy+c·y^2\]

O tomando como espacio vectorial ℝ³, podemos definir la forma cuadrática\[q(x,y,z) = a·x^2+b·y^2+c·z^2+d·xy+e·xz+f·yz\]

Expresión General

La expresión general de una forma cuadrática es\[q(x_1,x_2,\cdots,x_n) = a_{1,1}·x_1^2 + a_{1,2}·x_1·x_2 + \cdots + a_{1,n}·x_1·x_n + a_{2,2}·x_2^2 + a_{2,3}·x_2·x_3 + \cdots + a_{2,n}·x_2·x_n + \cdots + a_{n,n}·x_n^2\]

Expresión Matricial

Las formas cuadráticas pueden expresarse mediante la siguiente expresión matricial\[q(\vec x) = \vec x · Q · \vec x\]

Es decir\[q(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \left(\begin{matrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix} a_{1,1} & \frac{a_{1,2}}{2} & \frac{a_{1,3}}{2} & \cdots & \frac{a_{1,n}}{2} \\ \frac{a_{1,2}}{2} & a_{2,2} & \frac{a_{2,3}}{2} & \cdots & \frac{a_{2,n}}{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{a_{1,n}}{2} & \frac{a_{2,n}}{2} & \frac{a_{3,n}}{2} & \cdots & a_{n,n}\end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{matrix}\right) \]

La matriz resultante es cuadrada y simétrica.

Ejemplos

\(q(x,y) = a·x^2+b·xy+c·y^2 = \left(\begin{matrix}x & y\end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix} a & \frac{b}{2}\\ \frac{b}{2} &c\end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}\right)\)

\[q(x,y,z) = a·x^2+b·y^2+c·z^2+d·xy+e·xz+f·yz = \left(\begin{matrix}x & y & z\end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix} a & \frac{d}{2} & \frac{e}{2}\\ \frac{d}{2} & b & \frac{f}{2}\\ \frac{e}{2} & \frac{f}{2} & c\end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix}x \\ y \\ z\end{matrix}\right)\]

Forma Reducida

Eligiendo adecuadamente la base del subespacio, la matriz de un forma cuadrática puede ser una matriz diagonal. En este caso, la forma cuadrática solo tendrá términos cuadráticos (Por ejemplo w(x,y) = x² + 3y²).

Hay varias formas de encontrar alguna de las formas reducidas de una forma cuadrática. Ver Métodos de Reducción de Formas Cuadráticas.

Tipos

Según el signo de la forma cuadrática, se distinguen cinco tipos mutuamente excluyentes. Siendo 𝕍 el espacio vectorial V sobre el que se define la forma cuadrática q(x), tenemos que:

• q(x) es Definida Positiva \(\mbox{si } ∀ x ∈ \mathbb{V}, x \ne 0\mbox{; } q(x) > 0\).
• q(x) es Definida Negativa \(\mbox{si } ∀ x ∈ \mathbb{V}, x \ne 0\mbox{; } q(x) < 0\).
• q(x) es Semidefinida Positiva \(\mbox{si } ∀ x ∈ \mathbb{V}, x \ne 0\mbox{; } q(x) \ge 0\).
• q(x) es Semidefinida Negativa \(\mbox{si } ∀ x ∈ \mathbb{V}, x \ne 0\mbox{; } q(x) \le 0\).
• q(x) es Indefinida si no cumple ninguna de las condiciones anteriores.

Clasificación

Hay varias dos de clasificar una forma cuadrática: estudiando sus Menores Principales o estudiando sus Autovalores.

Clasificación por Menores Principales

(Este criterio de clasificación también se llama Criterio de Silvester).

Menor Principal D_i de una matriz cuadrada A, se define como el valor del determinante formado por los elementos de A desde el a_1,1 al a_i,i.

El Criterio de los Menores Principales establece que una forma cuadrática q(x) cuya matriz A tiene como menores principales D_i será:

• Definida Positiva si \(D_i > 0, ∀ i\).
• Definida Negativa si \((-1)^i·D_i > 0, ∀ i\). Es decir, alternan menores negativos (los impares) con positivos (los pares).
• Semidefinida Positiva si \(D_i > 0, ∀ i<n ∧ |D_n| = 0\).
• Semidefinida Positiva si \((-1)^i·D_i > 0, ∀ i<n ∧ |D_n| = 0\).
• Indefinida si no se cumple ninguna de las condiciones anteriores. Conviene probar con el Criterio de Autovalores.

Clasificación por Autovalores

(Este criterio de clasificación también se llama Criterio de Signatura).

Llamamos signatura de una forma cuadrática al par p,q, tal que sg(Q) = (p,q), donde p el el número de autovalores positivos de la forma cuadrática Q y q es el número de autovalores negativos.

Como la matriz A asociada a una forma cuadrática es real y simétrica, entonces es diagonalizable y por lo tanto podremos calcular sus autovalores (Ver Autovalores, Autovectores y Diagonalización de Matrices).

En función de los autovalores (λ_i) de A podemos clasificar la forma cuadrática como:

• Definida Positiva si \(\lambda_i > 0, ∀ i\). Es decir, sq(Q) = (n,0).
• Definida Negativa si \(\lambda_i < 0, ∀ i\). Es decir, sq(Q) = (0,n).
• Semidefinida Positiva si \(\lambda_i \ge 0, ∀ i ∧ \exists \lambda_l = 0\). Es decir, sq(Q) = (r,0) con r<n.
• Semidefinida Negativa si \(\lambda_i \le 0, ∀ i ∧ \exists \lambda_l = 0\). Es decir, sq(Q) = (0,r) con r<n.
• Indefinida cuando existen autovalores positivos y negativos. Es decir, sq(Q) = (p,q) con p,q > 0.

Forma Polar Asociada

Toda forma cuadrática tiene asociada una Forma Bilineal simétrica tal que\[f:\mathbb{V}x\mathbb{V} \longrightarrow \mathbb{K}~/~ q(\vec x) = f(\vec x, \vec x)\]

Vector Conjugado

Decimos que dos vectores \(\vec x, \vec y\) son conjugados respecto de la forma cuadrática q, cuando \(\vec x · Q · \vec y = 0\), siendo Q la matriz asociada a la forma cuadrática.