Funciones Equivalentes

Dadas dos funciones f y g y siendo a un punto de acumulación de sus dominios, se dice que f y g son funciones equivalentes en a (f ~ g) si cumplen que\[\underset{x \to a}{lim}~~{\frac{f(x)}{g(x)}} = 1\]

Las funciones equivalentes son útiles para la resolución de indeterminaciones, aplicando la siguiente propiedad.

Propiedad de las Funciones Equivalentes

Si f ~ F y g ~ G en a, entonces \(\underset{x \to a}{lim}~~{\frac{f(x)}{g(x)}} = \underset{x \to a}{lim}~~{\frac{F(x)}{G(x)}}\) y también se cumple que \(\underset{x \to a}{lim}~~f(x)·g(x) = \underset{x \to a}{lim}~~F(x)·G(x)\)

Funciones Equivalentes en a = 0

• Las siguientes funciones son equivalentes a x en a=0: sen(x), tan(x), arcsen(x), arctan(x), senh(x), argsenh(x), argtgh(x), log(1+x).
• 1- cosx ~ x²/2
• 1 - coshx ~ x²/2
• (1+x)^k-1 ~ kx
• c^x-1 ~ x·log c (c>0)

Funciones Equivalentes en a = 1

• log x ~ x-1

Funciones Equivalentes de Polinomios

Todo polinomio (a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1...+ a_m·x^m) es equivalente a a_n·xⁿ en ∞ y es equivalente a_m·x^m (el de menor grado) en 0.