Integración por Partes

La integración por partes es un método muy habitual para resolver integrales. Se basa en la derivada del producto de funciones:

Sean u(x) y v(x) dos funciones de \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), entonces, calculando la derivada del producto de ambas, tenemos que: \[\frac{d(u(x)\cdot v(x))}{dx} = \frac{du(x)}{dx}\cdot v(x) + u(x)\cdot\frac{dv(x)}{dx}\] Si integramos ambos miembros de la igualdad: \[\displaystyle \int \frac{d(u(x)\cdot v(x))}{dx} = u(x)\cdot v(x) = \int v(x)\cdot u'(x) dx + \int u(x)\cdot v'(x)dx\]

Por lo tanto:

\(\int u(x)\cdot v'(x)dx = u(x)\cdot v(x) - \int v(x)\cdot u'(x) dx \)

Expresión que suele recordarse por la frase nemotécnica un día vi una vaca vestida de uniforme que corresponde a la expresión matemática simplificada de la ecuación anterior:

\(u \cdot dv = u\cdot v - \int v\cdot du\)

Y que nos permite resolver integrales de la forma "\(\int u(x)\cdot v'(x)dx\)" donde v'(x) no es la derivada de u(x) (sino sería una integral compuesta).

Ejemplo

- Demo udv = uv - vdu - Ejemplo - Regla ALPES - Reiteradas - Unifuncionales - Cíclicas