Integrales Racionales
Las integrales racionales son de la forma \(\displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)}\;dx\) donde P(x) y Q(x) son polinomios racionales en x.
En función de las características de P(x) y de Q(x) hay varias formas de resolverlas:
Contenido
Grado de P(x) < Grado de Q(x)
Este es el método general para resolver integrales racionales. Consiste en descomponer el cociente de polinomios en una suma de fracciones cuyos denominadores son los factores del polinomio del denominador.
- A cada raíz simple a, le corresponde un factor (x-a) que da lugar a una fracción \(\frac{A}{x-a}\)
- A cada raíz múltiple, de multiplicidad m, le corresponde un factor (x-a)m que da lugar a las fracciones \(\frac{A_1}{x-a}, \frac{A_2}{(x-a)^2},... , \frac{A_m}{(x-a)^m}\)
- A cada par de raíces complejas conjugadas le corresponde un polinomio irreducible de segundo grado (ax2+bx+c), que da lugar a la fracción \(\frac{Mx+N}{ax^2+bx+c}\)
Descomponemos \(\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B_1}{x-b} + \frac{B_2}{(b-a)^2} +... + \frac{B_m}{(x-b)^m} + \frac{Mx+N}{ax^2+bx+c}\) e igualamos los numeradores para calcular los coeficientes A, Bi, C, etc.
Finalmente integramos cada fracción como uno de los siguientes casos:
Q(x) solo tiene una raíz simple
La integral es inmediata y corresponde al logaritmo neperiano. \[\displaystyle \int \frac{A}{x-a}\;dx = A\int \frac{1}{x-a}\;dx = A\cdot \ln|x-a| + C\]
Q(x) solo tiene una raíz múltiple
La integral es inmediata y corresponde a la integral de una potencia (negativa) de x. \[\displaystyle \int \frac{A}{(x-a)^n}\;dx = A\int (x-a)^{-n} \;dx = \frac{A}{-n+1}\cdot (x-a)^{n-1} + C\]
Q(x) es de segundo grado con raíces complejas conjugadas
Distinguiremos tres casos:
- P(x) = Q'(x) ⇒ \(\displaystyle \int \frac{Q'(x)}{Q(x)}\;dx = \ln|Q(x)| + C\)
- P(x) = A ⇒ Trabajamos para ponerlo en forma de integral inmediata de arcotangente. \(\displaystyle \int \frac{A}{ax^2+bx+c}\;dx = \int \frac{A}{a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})}\;dx = \frac{A}{a} \int \frac{1}{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}}\;dx = \frac{A}{a} \int \frac{1}{(x+\frac{b}{2a})^2+(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2})}\;dx = \frac{A}{a} \int \frac{1}{(x+\frac{b}{2a})^2+\alpha}\;dx =\)
\(\displaystyle \frac{A}{a} \int \frac{\frac{1}{\alpha}}{\frac{(x+\frac{b}{2a})^2}{\alpha}+1}\;dx = \frac{A}{a\alpha} \int \frac{1} {\left(\frac{x+\frac{b}{2a}}{\sqrt{\alpha}}\right)^2 +1}\;dx = \frac{A}{a\alpha}\cdot \arctan\left(\frac{x+\frac{b}{2a}}{\sqrt{\alpha}}\right) + C\)
- P(x) = Ax + B ⇒ Lo dividimos en suma de dos fracciones de los casos anteriores. \(\displaystyle \int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\;dx = \int \frac{(2ax+b)\cdot\alpha}{ax^2+bx+c}\;dx + \int \frac{\beta}{ax^2+bx+c}\;dx = \frac{A}{2a}\cdot\int \frac{2ax+b}{ax^2+bx+c}\;dx + \int \frac{B-\frac{Ab}{2a}}{ax^2+bx+c}\;dx \)
Q(x) tiene raíces complejas conjugadas múltiples
Aplicamos entonces el método de Hermite. Suponiendo que las raíces de Q(x) sean:
- Raíces reales: α, β, γ... con multiplicidades nα, nβ, nγ...
- Raíces complejas: a+bi, c+di, e+fi... con multiplicidades nab, ncd, nef... y factores (x-a)2 - b2, (x-c)2 - d2...
Aplicamos la fórmula de Hermite\[\displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)}\;dx = \int \left(\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}\right)' \;dx + \int \frac{A}{x-\alpha} \;dx + \int \frac{B}{x-\beta} \;dx + \int \frac{C}{x-\gamma} \;dx + ... + \int \frac{M_ax + N_a}{(x-a)^2-b^2} \;dx + \int \frac{M_cx + N_c}{(x-c)^2-d^2} \;dx + ...\]
Donde Q1(x) es un polinomio con los mismos factores que Q(x), pero un grado menor de multiplicidad. Y P1(x) es un polinomio indeterminado de un grado menor que Q1(x).
Calculamos los coeficientes de P1(x) y del resto de sumandos y tenemos una suma de integrales inmediatas.
La gran ventaja de Hermite es que todos los denominadores, excepto el primer sumando, quedan con exponente 1.
Ejemplo con Raíces Reales
\(\displaystyle \int\frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1}\;dx\)
Las raíces del denominador (que podemos obtener dividiendo por Rufini) son: -1 y 1 (doble). Por lo tanto, descomponiéndolo\[\displaystyle \int\frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1}\;dx = \int\frac{A}{x+1}\;dx + \int\frac{B}{x-1}\;dx + \int\frac{C}{(x-1)^2}\;dx\]
Igualando los numeradores obtenemos que\[ 3x+5 = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)\]
Esta "igualdad entre dos polinomios en x" debe cumplirse para cualquier valor de x. Tomando valores cómodos podemos calcular A, B y C:
- Para x=-1 ⇒ 2 = 4A ⇒ A = 1/2.
- Para x= 1 ⇒ 8 = 2C ⇒ C = 4.
- Para x= 0 ⇒ 5 = A -B +C ⇒ 5 = 1/2 - B +4 ⇒ B = -1/2.
Por lo tanto\[\displaystyle \int\frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1}\;dx = \int\frac{\frac{1}{2}}{x+1}\;dx + \int\frac{\frac{-1}{2}}{x-1}\;dx + \int\frac{4}{(x-1)^2}\;dx\]
Resolvemos cada integral por separado: \[I_1 = \displaystyle \int\frac{\frac{1}{2}}{x+1}\;dx = \frac{1}{2}\cdot\ln|x+1|+C\] \[I_2 = \displaystyle \int\frac{\frac{-1}{2}}{x-1}\;dx = \frac{-1}{2}\cdot\ln|x-1|+C\] \[I_3 = \displaystyle \int\frac{4}{(x-1)^2}\;dx = \frac{-4}{x-1}+C\]
Ejemplo con Raíces Complejas
\(\displaystyle \left.\begin{array}{l}\int \frac{3x+2}{x^2-x+2}\;dx \\ Q'(x) = 2x-1\end{array}\right\}\Rightarrow \int \frac{3x+2}{x^2-x+2}\;dx = \int \frac{\frac{3}{2}(2x-1)+\frac{7}{2}}{x^2-x+2}\;dx = \frac{3}{2}\int \frac{2x-1}{x^2-x+2}\;dx+\frac{7}{2}\int\frac{1}{x^2-x+2}\;dx\)
La primera integral es "inmediatamente" la integral compuesta de un logaritmo neperiano\[\displaystyle \frac{3}{2}\cdot\ln|x^2-x+2|+C +\frac{7}{2}\int\frac{1}{x^2-x+2}\;dx\]
Y la segunda, también es inmediata si la ponemos de la forma (Ax+B)2+C: \[\int\frac{1}{x^2-x+2}\;dx = \int\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+(2-\frac{1}{4})}\;dx = \int\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}}\;dx = \int\frac{1}{\frac{7}{4}\cdot\left[\left(\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}\right)^2+1\right]}\;dx = \]
que es la integral inmediata del arcotangente: \[\int\frac{1}{x^2-x+2}\;dx = \frac{4}{7}\cdot \frac{2}{\sqrt{7}}\cdot arctan\left(\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}\right) = \frac{4}{7}\cdot \frac{2}{\sqrt{7}}\cdot arctan\left(\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}\right) = \frac{8}{7\sqrt{7}}\cdot arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{7}}\right) + C\]
Ejemplo con Raíces Complejas Múltiples (Hermite)
\(\displaystyle \int \frac{x^2+1}{(x-1)\cdot(x^2+2)^2}\;dx\)
\(\displaystyle \int \frac{x^2+1}{(x-1)\cdot(x^2+2)^2}\;dx = \int \left(\frac{ax+b}{x^2+2}\right)' \;dx + \int \frac{A}{x-1}\;dx + \int \frac{Mx+N}{x^2+2}\;dx\)
En primer lugar calculamos la derivada del cociente del primer sumando\[\left(\frac{ax+b}{x^2+2}\right)' = \frac{a(x^2+2) - 2x(ax+b)}{(x^2+2)^2} = \frac{ax^2+2a - 2ax^2 - 2bx}{(x^2+2)^2} = \frac{-ax^2-2bx+2a}{(x^2+2)^2}\]
Igualamos los numeradores\[x^2+1 = (-ax^2-2bx+2a)(x-1) + A(x^2+2)^2 + (Mx+N)(x-1)(x^2+2)\]
E igualando coeficientes del mismo grado, obtenemos:
- En x4: A + M = 0
- En x3: -a +N -M = 0
- En x2: -2b + 4A +2M -N = 1
- En x: 2a +2b -2M +2N = 0
- Término Independiente: -2a +4A -2N = 1
De donde: A=2/9, a=1/12, b=-1/6, M=-2/9 y N=-5/36.
Con lo que nos quedan todas las integrales fácilmente calculables.
Si Grado de P(x) ≥ que el grado de Q(x)
Dividimos P(x) entre Q(x) y aplicamos la sustituimos \(\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}\) ("dividendo es igual a divisor por cociente más resto") donde C(x) es el cociente de la división y R(x) el resto. Por tanto\[\displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)}\;dx = \int C(x)\;dx + \int \frac{R(x)}{Q(x)}\;dx\]
Donde la primera integral será inmediata y la segunda se resolverá por alguno de los métodos anteriores.