Integrales por Partes Cíclicas

De 19E37 - Academia de Ciencias
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Es una técnica para resolver integrales utilizando las reglas de Integración por Partes.

La mejor forma de entender las integrales por partes cíclicas es con un ejemplo: \[\displaystyle \int e^x\cdot cos x\;dx\]

\(\left . \begin{array}{ll} u(x) = e^x && u'(x) = e^x \\ v'(x) = cos x && v(x) = sen x \end{array} \right\}\Rightarrow \displaystyle \int e^x\cdot cos x\;dx = e^x\cdot sen x - \int e^x \cdot sen x dx\)

Volvemos a resolver por partes esta nueva integral... \(\left . \begin{array}{ll} u(x) = e^x && u'(x) = e^x \\ v'(x) = sen x && v(x) = -cos x \end{array} \right\}\Rightarrow \displaystyle \int e^x\cdot sen x\;dx = -e^x\cdot cos x + \int e^x \cdot cos x dx\)

Y volvemos al punto de partida... Si llamamos I al valor de la integral que buscamos, obtenemos una ecuación en I: \[I = \displaystyle \int e^x\cdot cos x\;dx = e^x\cdot sen x - \int e^x \cdot sen x dx = e^x\cdot sen x - (-e^x\cdot cos x + \int e^x \cdot cos x dx)= e^x\cdot sen x + e^x\cdot cos x - I \] \[\Rightarrow 2I = e^x\cdot sen x + e^x\cdot cos x \Rightarrow I = \frac{e^x\cdot sen x + e^x\cdot cos x}{2}\]

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