Integrales por Partes Cíclicas
Es una técnica para resolver integrales utilizando las reglas de Integración por Partes.
La mejor forma de entender las integrales por partes cíclicas es con un ejemplo: \[\displaystyle \int e^x\cdot cos x\;dx\]
\(\left . \begin{array}{ll} u(x) = e^x && u'(x) = e^x \\ v'(x) = cos x && v(x) = sen x \end{array} \right\}\Rightarrow \displaystyle \int e^x\cdot cos x\;dx = e^x\cdot sen x - \int e^x \cdot sen x dx\)
Volvemos a resolver por partes esta nueva integral... \(\left . \begin{array}{ll} u(x) = e^x && u'(x) = e^x \\ v'(x) = sen x && v(x) = -cos x \end{array} \right\}\Rightarrow \displaystyle \int e^x\cdot sen x\;dx = -e^x\cdot cos x + \int e^x \cdot cos x dx\)
Y volvemos al punto de partida... Si llamamos I al valor de la integral que buscamos, obtenemos una ecuación en I: \[I = \displaystyle \int e^x\cdot cos x\;dx = e^x\cdot sen x - \int e^x \cdot sen x dx = e^x\cdot sen x - (-e^x\cdot cos x + \int e^x \cdot cos x dx)= e^x\cdot sen x + e^x\cdot cos x - I \] \[\Rightarrow 2I = e^x\cdot sen x + e^x\cdot cos x \Rightarrow I = \frac{e^x\cdot sen x + e^x\cdot cos x}{2}\]