La respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas

De 19E37 - Academia de Ciencias
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La respuesta de un sistema LTI a una entrada exponencial compleja es la misma exponencial compleja con un cambio de amplitud.

\(e^{st} \Rightarrow H(s)\cdot e^{st}\)
\(z^n \Rightarrow H(z)\cdot z^n\)

Donde s y z ∈ ℂ. Y

\(H(s) = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)\cdot e^{-s\tau} d\tau\)
\(H(z) = \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h(k)\cdot z^{-k}\)

Por la propiedad de superposición se puede demostrar que:

Si una señal de entrada es la composición de señales exponenciales complejas, su salida será la suma de las respuestas a cada señal por separado

Es decir:

\(x(t) = \displaystyle \sum_k a_ke^{s_kt} \Rightarrow y(t) = \sum_k a_kH(s_k)e^{s_kt} \)
\(x[n] = \displaystyle \sum_k a_kz_k^{n} \Rightarrow y[n] = \sum_k a_kH(z_k)z_k^{n} \)
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