Movimiento Armónico Simple - MAS

De 19E37 - Academia de Ciencias
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Definición

Un cuerpo se desplaza con un movimiento armónico simple (también llamado movimiento vibratorio armónico simple) cuando realiza un movimiento rectilíneo, periódico y vibratorio que puede expresarse como una función armónica.

Para completar la definición necesitamos definir algunos conceptos:

  • Rectilíneo: La trayectoria del cuerpo forma parte de una línea recta.
  • Periódico: El cuerpo repite su posición a intervalos regulares de tiempo.
  • Vibratorio: El movimiento se realiza entorno a un punto de equilibrio.
  • Funciones Armónicas: seno y coseno.

Características

Este movimiento se caracteriza por:

  • Trayectoria rectilínea: por definición.
  • Velocidad: variable.
  • Aceleración: variable, siempre en dirección al punto de equilibrio.

Conceptos

Para poder estudiar el mas necesitamos definir algunos conceptos:

  • Elongación (x): Distancia del móvil al punto de equilibrio. Varía en función del tiempo y se mide en metros (m).
  • Amplitud (A): Valor máximo de la elongación. Es decir, la distancia máxima al punto de equilibrio. Se mide en metros (m).
  • Periodo (T): Duración de una vibración completa. Se mide en segundos (s).
  • Frecuencia Natural o Frecuencia (ν o f): Número de vibraciones por unidad de tiempo. Se mide en Herzios (Hz = s-1).
  • Frecuencia Angular o Pulsación (ω): Velocidad angular del m.c.u. Asociado al m.a.s. Se mide en radianes por segundo (rad/s).
  • Fase Inicial o Constante de Fase (φ): Estado de la vibración para t=0. Se mide en radianes (rad).
  • Fase del Movimiento (ωt+φ): Ángulo de la función armónica que determina la posición del móvil en un momento dado.

Interpretación

Mas proyeccion.png

Los conceptos definidos se entienden mejor si interpretamos el mas como la proyección de un MCU sobre un diámetro.

Con esta interpretación:

  • Elongación (x): La distancia del punto proyectado al centro del MCU.
  • Amplitud (A): Radio del MCU.
  • Periodo (T): Periodo del MCU.
  • Frecuencia Natural o Frecuencia (ν o f): Frecuencia del MCU.
  • Frecuencia Angular o Pulsación (ω): Velocidad angular del MCU.
  • Fase Inicial o Constante de Fase (φ): Ángulo inicial del MCU.
  • Fase del Movimiento (ωt+φ): Fase del MCU.

Ecuaciones

Las ecuaciones del MAS son:

Elongación

Analizando la relación entre el MCU y su proyección, obtenemos que\[x = A\cdot sen(\omega\cdot t + \phi)\]

Nota: La expresión de la elongación, y en consecuencia del resto de expresiones que se deducen de ella, dependen del sentido de giro que se atribuya al MCU asociado. Si el sentido de giro se considera positivo (incrementándose en el sentido de giro de las agujas del reloj), la expresión obtenida es senoidal. Pero si se considera negativo (incrementándose en el sentido antihorario) entonces la expresión obtenida sera cosenoidal. Ambas son igualmente válidas.

\(x = A\cdot cos(\omega\cdot t + \phi)\)

También influye en la expresión el eje desde el que se mida la fase inicial (φ), que puede medirse desde el eje OX o desde el eje OY, tanto en sentido antihorario como horario, cambiando así la expresión resultante.

Velocidad

Derivando la expresión anterior obtenemos\[v = A\omega\cdot cos(\omega\cdot t + \phi)\]

O si partimos de la expresión cosenoidal de la elongación\[v = -A\omega\cdot sen(\omega\cdot t + \phi)\]

Utilizando la igualdad fundamental de la trigonometría (sen2α + cos2α = 1) podemos deducir la expresión de la velocidad en función de la elongación\[v = \omega\cdot\sqrt{A^2 - x^2}\]

De esta expresión deducimos que:

  • La velocidad es máxima cuando x = 0 (punto de equilibrio).
  • La velocidad es nula cuando x = A (punto de máxima elongación).

Aceleración

Derivando la expresión de la velocidad obtenemos\[a = -A\omega^2\cdot sen(\omega\cdot t + \phi)\]

O su correspondiente\[a = -A\omega^2\cdot cos(\omega\cdot t + \phi)\]

Y de nuevo, la aceleración puede expresarse en función de la elongación como\[a = -\omega^2\cdot x\]

De esta expresión deducimos que:

  • La aceleración siempre es de sentido contrario a la elongación.
  • La aceleración es máxima cuando x = A (punto de máxima elongación).
  • La aceleración es nula cuando x = 0 (punto de equilibrio).

Referencias

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