Movimiento Circular Uniformemente Acelerado - MCUA
Contenido
Definición
Un cuerpo se desplaza con un movimiento circular uniformemente cuando su aceleración angular es constante (no nula).
Características
El movimiento circular uniformemente acelerado se caracteriza por tener:
- Trayectoria curvilínea: por definición de movimiento circular.
- Velocidad Angular variando linealmente con el tiempo.
- Aceleración Angular constante: por definición.
- Rapidez variando linealmente con el tiempo: igual que lo hace la velocidad angular.
- Aceleración Tangencial constante: que hace variar la velocidad angular.
- Aceleración Normal constante: que es responsable de la modificación de la dirección del vector velocidad para que el cuerpo describa una trayectoria circular.
Ecuaciones
Las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado son:
Arco de Giro
El arco de giro (Θ) en el movimiento circular uniforme corresponde a la expresión\[\color{blue}\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2\]
Siendo Θ0 el ángulo inicial del movimiento, ω0 la velocidad angular inicial, α la aceleración angular y t el tiempo.
Posición
El vector de posición en función del tiempo (\(\color{blue} \vec r (t)\)) corresponde a la expresión\[\color{blue} \vec r (t) = r cos\theta\vec i + r sen\theta\vec j = r cos(\theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2)\vec i + r sen(\theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2)\vec j\]
Siendo r el radio de la trayectoria, Θ0 el ángulo inicial del movimiento, ω0 la velocidad angular inicial, α la aceleración angular, t el tiempo y los vectores \(\color{blue} \vec i, \vec j\) los vectores unitarios de los ejes de coordenadas cuyo centro es el centro de giro del cuerpo.
Velocidad Angular
La velocidad angular es\[\color{blue}\omega = \omega_0 + \alpha t\]
Velocidad Angular Media
\(\color{blue}\omega = \omega_0 + \alpha \Delta t\)
Siendo ∆t el intervalo de tiempo.
Velocidad Tangencial
La velocidad tangencial responde a la expresión general\[\color{blue} v = \omega r = r (\omega_0 + \alpha t)\]
Siendo r el radio de giro.
Expresión diferencial
Al ser la velocidad la derivada de la posición respecto del tiempo, podemos expresarla como
\(\color{blue} \vec v = \frac{d \vec r}{dt} = \frac{d(r cos(\theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2)\vec i + r sen(\theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2)\vec j)}{dt} = \)
\(= -r \omega_0 \alpha sen(\theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2) \vec i + r \omega_0 \alpha cos(\theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2)\vec j \)
Aceleración Angular
La aceleración angular es constante.
Aceleración Tangencial
El módulo de la aceleración tangencial tiene como expresión\[a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d(r (\omega_0 + \alpha t))}{dt} = r \alpha\]
Aceleración Normal
El módulo de la aceleración normal tiene como expresión\[a = r\omega^2 = \frac{v^2}{r}\]
Aceleración Vectorial
La expresión vectorial de la aceleración se obtiene derivando la expresión vectorial de la velocidad\[\vec {a_t} = \frac{d \vec v}{dt} = \frac{d(-r\omega_0\alpha sen(\theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2)\vec i + r\omega_0\alpha cos(\theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2)\vec j)}{dt} = \]
\(= -r\omega_0^2\alpha^2t cos(\theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2)\vec i - r\omega_0^2\alpha^2t sen(\theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2)\vec j = \)
