Operaciones con Números Complejos
Contenido
Suma y Resta
Para sumar o restar números complejos, sumamos/restamos sus partes reales e imaginarias por separado\[(a+bi) + (c+di) = a+c + (b+d)i\]
La suma es conmutativa y asociativa, mientras que la resta es asociativa.
Multiplicación y División
Para multiplicar o dividir dos números complejos, aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y tenemos en cuenta que i·i = i2 = -1\[(a+bi) · (c+di) = a·c + a·d·i + bi·c + bi·di = ac-db + (ad+bc)i\]
Las divisiones se realizan fácilmente multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador:
La multiplicación es distributiva respecto de la suma.
Potenciación
Potencia Entera
La potencia entera de un número complejo expresado en forma binómica puede calcularse aplicando el binomio de Newton\[(a+bi)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k} (bi)^k\]
Para el caso n=2, nos queda\[(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi\]
Y resulta mucho más fácil efectuar la potencia si el número complejo está expresado en polares\[(r_\alpha)^n = r^n_{n·\alpha}\]
Potencia Compleja
La cosa se complica cuando el exponente no es un número entero, sino otro número complejo\[\mbox{Sean z, }\omega ∈ \mathbb{C} \mbox{ entonces } z^\omega = e^{\omega·Ln(z)}\]
Fórmula de Moivre
Hablando de potencias, conviene conocer la Fórmula de Moivre, que nos relaciona los números complejos con la trigonometría\[(cos\alpha+i·sen\alpha)^n = cos(n\alpha)+i·sen(n\alpha)\]
Raíces
Para calcular la raíz de un número complejo (expresado en forma polar) basta poner como módulo la raíz de su módulo y dividir la fase por el índice de la raíz\[\sqrt[n]{r_\alpha} = \sqrt[n]{r}_{\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}}\]
Pero la raíz enésima de un número complejo tiene n soluciones, que tienen el mismo módulo y distinta fase. La fase de cada solución se obtiene sumando (o restando) un número entero de enésimos de 2π a la fase principal.
Nota: representadas en el plano complejo, las soluciones de la raíz son los vértices de un polígono regular de n lados.
Exponenciales
La exponencial de un número complejo se calcula descomponiéndola, lo que nos da inmediatamente un número complejo en forma polar\[e^{a+bi} = e^a·e^{bi}\]
eαi es una exponencial imaginaria, que (según propuso Euler) debe interpretarse como un número complejo de módulo 1 y fase α. Y aplicando la Fórmula de Euler podemos calcularla como\[e^{\alpha·i} = cos(\alpha) + i·sen(\alpha)\]
Logaritmos
El logaritmo neperiano de un número complejo se calcula mediante la expresión\[\ln(r_\alpha) = \ln(r) + i(\alpha + 2k\pi)\]
Y el resto mediante cambio de base\[\log_n(r_\alpha) = \frac{\ln(r_\alpha)}{\ln(n)}\]
Trigonometría
De la Fórmula de Euler se deducen las siguientes igualdades\[cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\]
El resto de expresiones trigonométricas pueden deducirse de éstas aplicando las fórmulas trigonométricas habituales.
