Operaciones con Radicales

Las operaciones básicas con radicales (raíces) se realizan de la siguiente forma:

Suma y Resta

• No es posible sumar ni restar raíces. La única forma de operar es calcularlas:

\(\sqrt{9} + \sqrt[4]{16} - \sqrt[3]{125} = 3 + 2 - 5 = 0\)

Multiplicación

• Si las raíces tienen el mismo índice, las agrupamos:

\(\sqrt[3]{5} · \sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{7·5}\)

• Si las raíces tienen el mismo radicando pero distinto índice, hallamos el mínimo común múltiplo de los índices y lo utilizamos como índice, elevando los radicandos "adecuadamente" (al cociente del mcm por el índice de la raíz):

\(\sqrt{3} · \sqrt[4]{3} · \sqrt[3]{3} = \sqrt[12]{3^6} · \sqrt[12]{3^3} · \sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12]{3·3^6·3^3} = \sqrt[12]{3^{10}} = \sqrt[6]{3^{5}}\)

Como ves, podemos simplificar el índice y el exponente del radicando, dividiendo ambos por el mismo número.

• Si tienen distinto radicando, podemos intentar descomponerlos en factores primos:

\(\sqrt[3]{12} · \sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{2·3} · \sqrt[3]{2·2·5} = \sqrt[3]{2·3·2·5} = \sqrt[3]{2·2·3·2·5} = 2·\sqrt[3]{3·5}\)

• Si tienen distinto radicando, distinto índice y no tienen factores comunes... no podemos hacer más que calcularlas.

División

• Si las raíces tienen el mismo índice, las agrupamos:

\(\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{7}} = \sqrt[3]{\frac{7}{5}}\)

• Si las raíces tienen el mismo radicando pero distinto índice, hallamos el mínimo común múltiplo de los índices y lo utilizamos como índice, elevando los radicandos "adecuadamente" (al cociente del mcm por el índice de la raíz):

\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{3}}= \frac{\sqrt[6]{3^3}}{\sqrt[6]{3^2}} = \sqrt[6]{\frac{3^3}{3^2}} = \sqrt[6]{3}\)

• Si tienen distinto radicando, podemos intentar descomponerlos en factores primos:

\(\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{10}} = \frac{\sqrt[3]{2·3}}{\sqrt[3]{2·2·5}} = \sqrt[3]{\frac{2·3}{2·2·5}} = \sqrt[3]{\frac{3}{2·5}}\)

• Si tienen distinto radicando, distinto índice y no tienen factores comunes... no podemos hacer más que calcularlas.

Potenciación

Al elevar una raíz a una potencia, podemos aplicar directamente el exponente al radicando o simplificarlo con el índice de la raíz dividiendo ambos por un mismo número:

\((\sqrt[6]{12})^9 = (\sqrt{12})^3 = \sqrt{12^3}\)

Inversión

El inverso de una raíz es la misma raíz con el índice cambiado de signo.

\(\frac{1}{\sqrt[6]{12}} = \sqrt[-6]{12}\)

Raíces

Calcular la raíz de una raíz nos basta con multiplicar sus índices:

\(\sqrt[3]{\sqrt{3}} = \sqrt[6]{3}\)

Conversión en Potencias

Podemos convertir una raíz en una potencia simplemente elevando el radicando al inverso del índice de la raíz.

\(\sqrt[3]{5} = 5^\frac{1}{3}\)