Problema:2BA-MAT-INT-001
Calcular la siguiente integral\[\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1} dx\]
Como se trata de una integral racional con un polinomio de segundo grado en el denominador, vamos a intentar darle forma de arctan, poniendo su denominador como x2+1.
Para ello, separamos el 1 en 1/4+3/4
\[\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1} dx = \int \frac{1}{x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} dx = \]
Y así formamos el cuadrado de un binomio:
\[ = \displaystyle \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} dx = \]
Dividimos numerador y denominador por 3/4 para obtener el 1 que buscamos:
\[ = \displaystyle \int \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}·(x+\frac{1}{2})^2+1} dx = \int \frac{\frac{4}{3}}{(\frac{2}{\sqrt{3}}·x+\frac{1}{\sqrt{3}})^2+1} dx = \]
Y ahora conseguimos que en el numerador aparezca la derivada del argumento del arctan (es decir, la derivada de lo de dentro del paréntesis elevado al cuadrado). Para conseguirlo, multiplicamos y dividimos por \(\frac{2}{\sqrt{3}}\):
\[ = \displaystyle \frac{4}{3}·\frac{\sqrt{3}}{2}·\int \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{(\frac{2}{\sqrt{3}}·x+\frac{1}{\sqrt{3}})^2+1} dx = \]
Y ya tenemos la derivada del arctan que buscábamos: \[ = \displaystyle \frac{2·\sqrt{3}}{3}·arctan\left(\frac{2}{\sqrt{3}}·x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + C = \frac{2·\sqrt{3}}{3}·arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C\]
