Propiedades de la transformada de Fourier en tiempo discreto

De 19E37 - Academia de Ciencias
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Conocer las propiedades de la TF nos ayudará a resolver más fácilmente los problemas.

Para todas estas propiedades, supondremos que \(\mathcal{F}[x[n]] = X(j\omega)\) y por lo tanto \(x[n] = \mathcal{F}^{-1}[X(j\omega)]\)

Periodicidad

La transformada de Fourier en tiempo discreto es SIEMPRE periódica en ω con periodo 2π:

\(X(e^{j(\omega + 2\pi)}) = X(e^{j\omega})\)

Linealidad

\(\mathcal{F}[A\cdot x[n]+B\cdot y[n]] = A\cdot X(j\omega)+B\cdot Y((j\omega) \)

Desplazamiento de Tiempo

\(\mathcal{F}[x[n-n_0]] = e^{-j\omega n_0}\cdot X(j\omega)\)

Conjugación y Simetría Conjugada

\(\mathcal{F}[x*[n]] = X*(-j\omega)\)

Si x[n] es Real\[X(j\omega) = X*(-j\omega)\]

Diferenciación y Acumulación

\(\mathcal{F}[x[n]-x[n-1]] = (1-e^{j\omega})\cdot X(j\omega)\)
\(\displaystyle \mathcal{F}\left[\sum_{m=-\infty}^n x[m]\right] = \frac{1}{1-e^{j\omega}}\cdot X(j\omega) + \pi X(j0)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2\pi k)\)

Inversión en Tiempo

\(\mathcal{F}[x[-n]] = X(-j\omega)\)

Expansión en Tiempo

Si \(x_{(k)}[n], \;con\;k\in\mathbb{N} = \left\{\begin{array}{ll}x[n/k]&&si\;n\;es\;multiplo\;de\;k\\0&&si\;n\;no\;es\;multiplo\;de\;k\end{array}\right.\):

\(\mathcal{F}[x_{(k)}[n]] = X(j\omega k)\)

Diferenciación en Frecuencia

\(\mathcal{F}[n\cdot x[n]] = j\frac{dX(j\omega)}{d\omega}\)

Relación de Parseval

\(\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x[n]|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} |X(j\omega)|^2 d\omega\)
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