Sistemas LTI Continuos: La Integral de Convolución

Representación de Señales Continuas en Términos de Impulsos

Cualquier señal continua (x(t)) puede expresarse como una combinación de impulsos desplazados en el tiempo.

\(x(t) = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\)

A esta ecuación se le denomina propiedad de selección. porque, como se puede ver, cada impulso de la integral solo "se activa" para una determinado dτ seleccionando el valor de x(t=τ).

La Respuesta al Impulso Unitario Continuo y la Representación de la Integral de Convolución de Sistemas LTI

Al tratarse de sistemas LTI (lineales e invariantes en el tiempo), el estudio de la respuesta al impulso unitario del sistema nos permitirá conocer todo el comportamiento del sistema, pues podemos expresar cualquier señal como combinación de impulsos y sabemos que la respuesta al impulso en otro instante distinto de t=0 solo será la misma respuesta desplazada.

Esta propiedad nos permite expresar la respuesta de un sistema como su integral de convolución o integral de superposición:

\(y(t) = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau) d\tau\)

Donde h(t) = es la respuesta al impulso unitario del sistema.

La operación de convolución se expresa como y(t) = x(t)*h(t).

Procedimiento para Evaluar la Integral de Convolución

Como integramos respecto de τ:

• Primero obtenemos h(t-τ) como la señal invertida (reflejada respecto al origen) y retardada (desplazamiento a la derecha) si t>0, o adelantada (desplazamiento a la izquierda) si t<0.
• Luego multiplicamos la señal obtenida por x(τ).
• Integramos el resultado desde -∞ hasta +∞.

Esta operación puede interpretarse gráficamente como deslizar la señal h(t-τ) sobre x(τ).