Subespacio Vectorial
Un Subespacio Vectorial (𝕊) es un subconjunto de un Espacio Vectorial con estructura de Espacio Vectorial. Es decir, debe cumplir que:
Un subespacio vectorial puede quedar definido por sus ecuaciones paramétricas o implícitas, que establecen las condiciones que deben cumplir los elementos del subespacio.
Contenido
Condición de Subespacio Vectorial
Para que un conjunto de vectores (con las dos operaciones) sea subespacio vectorial, debe cumplir que cualquier combinación lineal de vectores del conjunto también pertenezca al conjunto.
Sistema Generador de un Subespacio Vectorial
Un Sistema Generador de un Subespacio Vectorial es todo conjunto de vectores de 𝕊 capaces de generar cualquier vector de 𝕊 mediante combinación lineal entre ellos.
Por ejemplo, siendo el subespacio vectorial (ℝ2,+,·) formado por parejas de números reales con las operaciones suma y producto habituales, el conjunto de vectores {(1,0), (0,1)} forman un sistema generador del subespacio. Como también lo es {(2,-4), (80,3), (90.783, 32)}, pues cualquier elemento del subespacio puede ponerse como combinación lineal de ellos. Así, el vector (3,4) = 3·(1,0)+4·(0,1) (e igualmente podríamos encontrar una o varias combinaciones lineales en el segundo sistema generador indicado).
Base de un Subespacio Vectorial
Una Base de un Subespacio Vectorial es un sistema generador de vectores linealmente independientes.
La dimensión de un subespacio vectorial se puede calcular como el número de vectores de su base, pues toda base es un conjunto mínimo de vectores de 𝕊 que forma un Sistema Generador de 𝕊.
Se denomina dimensión de 𝕊 al número de vectores que forman una Base de 𝕊. Este número es constante para todas las bases de 𝕊.
Por ejemplo, el primero de los sistemas generadores indicado en el punto anterior es una Base del subespacio vectorial definido. Y su dimensión es 2.
Coordenadas de un Vector
Se llaman Coordenadas de un Vector (v) en una Base (B) al conjunto de escalares de la combinación lineal de los vectores de B que generan v.
En el ejemplo utilizado, las coordenadas del vector son (3,4).
Cambio de Base
Cambiar de Base es calcular las coordenadas de un vector v, dadas respecto a la base B, en otra base B'.
Los cambios de base se realizan con una matriz de cambio de base mediante la ecuación:
Donde c' son las nuevas coordenadas respecto a B', c son las coordenadas en la base original B y P es la matriz de cambio de base.
Los elementos de P son las coordenadas de los vectores de B respecto de B'.
Por ejemplo: Sea el subespacio vectorial (ℝ3,+,·) con las operaciones habituales. Y sean B={(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)} y B'={(-1,0,1),(0,-1,0),(0,1,-1)} bases del subespacio. Su matriz de cambio de base (de B a B') se obtiene expresando los vectores de B como combinaciones lineales de los vectores de B'. Así obtenemos\[\left.\begin{array}{l} \alpha_1·(-1,0,1)+\beta_1·(0,-1,0)+\gamma_1·(0,1,-1) = (1,1,1) \\ \alpha_2·(-1,0,1)+\beta_2·(0,-1,0)+\gamma_2·(0,1,-1) = (0,1,1) \\ \alpha_3·(-1,0,1)+\beta_3·(0,-1,0)+\gamma_3·(0,1,-1) = (0,0,1) \end{array}\right\} \Rightarrow P = \left(\begin{matrix} -1 & -3 & -2\\ 0 & -2 & -1\\ 0 & -1 & -1 \end{matrix}\right) \]
Siendo c' = c·P.
