Teoría de Campos
La Teoría de Campos es el conjunto de técnicas matemáticas que permiten estudiar los campos físicos.
Un Campo Físico es una región del espacio en la que está definida una magnitud. Esta magnitud puede ser escalar (campo escalar) o vectorial (campo vectorial).
Un ejemplo de campo escalar es la temperatura de una habitación. Un ejemplo de campo vectorial es la velocidad del viento en una región.
En un campo escalar (de 3 dimensiones) se pueden definir superficies donde la magnitud del campo tiene el mismo valor.
En un campo vectorial se pueden definir líneas tangentes al vector del campo.
Contenido
Circulación de un Campo Vectorial
La circulación de un campo vectorial a lo largo de una línea se define como\[\displaystyle \int_L \vec A·d\vec l\]
Donde \(\vec A\) es el campo vectorial y L la línea de circulación.
En un campo conservativo, la circulación del campo a lo largo de una línea cerrada es cero.
Nota: esto es una definición matemática. Su sentido físico dependerá del campo que estemos considerando:
Flujo de un Campo Vectorial
El 'flujo de un campo vectorial a través de una superficie se define como\[\displaystyle \int_S \vec A·d\vec s\]
Donde \(\vec A\) es el campo vectorial y S la superficie a través de la cual queremos calcular el flujo.
Gradiente de un Campo Escalar
El gradiente de un campo escalar se define como\[\vec\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\hat i + \frac{\partial\phi}{\partial y}\hat j + \frac{\partial\phi}{\partial z}\hat k\]
Donde \(\phi\) es el campo escalar.
El gradiente de un campo escalar es un vector, cuyo módulo nos da la máxima variación del campo en un punto y su dirección y sentido nos indican la dirección y sentido en el que se produce esa máxima variación.
Nota: El campo vectorial producido por el gradiente de un campo escalar, es conservativo.
Gradiente en Coordenadas Cilíndricas
Para coordenadas cilíndricas resulta\[ \nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z} \]
Gradiente en Coordenadas Esféricas
Para coordenadas esféricas resulta\[ \nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+ \frac{1}{r\,{\rm sen}\,\varphi}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{\theta} \]
Divergencia de un Campo Vectorial
La divergencia de un campo vectorial se define como\[\vec\nabla·\vec A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}\]
Donde \(\vec A\) es el campo vectorial.
Teorema de Gauss-Ostrogadsky
El teorema de Gauss-Ostrogadsky relaciona el flujo de un campo vectorial con su divergencia (ambas medidas están relacionadas con el número de líneas de campo).
Si la divergencia de un campo vectorial es nula, se dice que el campo es solenoidal y por lo tanto, (aplicando el Teorema de Gauss-Ostrogadsky) su flujo a través de cualquier superficie cerrada será nulo.
Rotacional de un Campo Vectorial
El rotacional de un campo vectorial se define como\[\vec\nabla\wedge\vec A = \left|\begin{array}\vec i&&\vec j&&\vec k \\ \frac{\partial}{\partial x}&&\frac{\partial}{\partial y}&&\frac{\partial}{\partial z}&&\\A_x&&A_y&&A_z\end{array}\right|\]
El rotacional muestra la tendencia del campo vectorial a girar alrededor de un punto.
Si un campo es conservativo, su rotacional es nulo o irrotacional.
Teorema de Stokes
Donde \(\vec A\) es el campo vectorial considerado, S una superficie cualquiera dentro del campo vectorial y L la línea que rodea a S.
El Teorema de Green es un caso especial de este teorema: \[\oint_{C^{+}} (L\, dx + M\, dy) = \int\!\!\!\int_{S} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dS\]
Operador Laplaciano
La divergencia del gradiente de un campo escalar se expresaría como \(\vec∇(\vec ∇φ) = ∇^2φ\).
Al operador ∇2 se le denomina operador laplaciano.
Si el campo es vectorial, el laplaciano nos calcula el gradiente de la divergencia del campo\[∇^2\vec A = \vec∇(\vec ∇ · \vec A)\]
