Teorema de Rouché-Frobenius

El Teorema de Rouché-Frobenius se utiliza en álgebra para discutir sistemas de ecuaciones lineales. Es decir, para saber si un sistema de ecuaciones lineales es compatible o incompatible y si es determinado o indeterminado.

Contenido

1 Clasificación de Sistemas de Ecuaciones Lineales
2 Matrices de Sistemas de Ecuaciones Lineales
3 Teorema de Rouché-Frobenius
4 Véase También

Clasificación de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en:

Sistemas Compatibles: Tienen solución.
- Sistemas Compatibles Determinados: Tienen solución única.
- Sistemas Compatibles Indeterminados: Tienen infinitas soluciones.
Sistemas Incompatibles: No tienen solución.

Matrices de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sea el sistema: \[ \left\{ \begin{matrix} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n & = & b_1\\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n & = & b_2\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m,1}x_1 +a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n & = & b_m\end{matrix} \right.\]

Definimos la matriz de coeficientes del sistema como: \[ A = \left( \begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\end{matrix} \right)\]

Y la matriz ampliada del sistema como: \[ Ab = (A|b) = \left( \begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} & b_1\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} & b_2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} & b_m\end{matrix} \right)\]

La expresión matricial del sistema de ecuaciones nos queda: \[ A·X = B \Rightarrow \left( \begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\end{matrix} \right) · \left(\begin{matrix} x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} b_1\\b_2\\ \vdots \\b_n\end{matrix}\right) \]