Transformada de Laplace

Este es un resumen de teoría para el tema "Transformada de Laplace":

Definición

La Transformada de Laplace (TLP) de una señal x(t) se define como\[X(s) = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)·e^{-st}dt, s\in\mathbb{C}\]

La TLP se aplica a señales continuas (no a discretas) y se convierte en la Transformada de Fourier cuando hacemos s=jω.

En sistemas LTI, la TLP de h(t) es H(s) y se denomina función de transferencia del sistema.

Antitransformada

Apenas se usa\[\displaystyle x(t) = \frac{1}{1\pi j}\int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} X(s)·e^{st}dt\]

Región de Convergencia

Diferentes señales pueden tener la misma TLP (por ejemplo, \(x_1(t) = e^{-\alpha t}·u(t), x_2(t) = -e^{-\alpha t}u(-t)\)). Pero converge para distintas regiones del plano complejo s. A la región del plano s donde X(s) es convergente se le denomina Región de Convergencia (ROC).

La ROC se calcula analizando los polos (infinitos) de X(s) y tiene las siguientes características:

• Es un conjunto de bandas paralelas al eje jω.
• Si la TLP es racional, la ROC no contiene ningún polo.
• Si x(t) es de duración finita y absolutamente integrable, la ROC de X(s) es todo el plano s.
• Si x(t) es derecha, la ROC es un semiplano derecho.
• Si x(t) es izquierda, la ROC es un semiplano izquierdo.

Propiedades

• Linealidad: \(\mathbb{L}\{A·x_1(t) + B·x_2(t)\} = A·X_1(s) + B·X_2(s)\) y la ROC conteniendo R₁∩R₂.
• Desplazamiento en el Tiempo: \(\mathbb{L}\{x(t-t_0)\} = e^{-st_0}·X(s)\) y ROC = R.
• Desplazamiento en el Dominio de s: \(\mathbb{L}\{e^{s_0·t}x(t)\} = X(s-s_0)\) y \(ROC = R + \mathbb{Re}\{s_0\}\).
• Escalamiento en el Tiempo: \(\mathbb{L}\{x(a·t)\} = \frac{1}{|a|}·X(\frac{s}{a})\) y ROC = R/a.
• Conjugación: \(\mathbb{L}\{x^*(t)\} = X^*(s^*)\) y ROC = R.
• Convolución: \(\mathbb{L}\{x(t)*h(t)\} = X(s)·H(s)\) y la ROC conteniendo R_x∩R_h.
• Diferenciación en el Tiempo: \(\mathbb{L}\{\frac{dx(t)}{dt}\} = s·X(s)\) y la ROC conteniendo a R.
• Diferenciación en Dominio de s: \(\mathbb{L}\{-t·x(t)\} = \frac{dX(s)}{ds}\) y la ROC = R.

Tabla de Transformadas Básicas

Señal	Transformada de Laplace	ROC
\(\delta(t)\)	1	Todo s
\(u(t)\)	\(\frac{1}{s}\)	\(\mathbb{Re}\{s\} \gt 0\)
\(-u(-t)\)	\(\frac{1}{s}\)	\(\mathbb{Re}\{s\} \lt 0\)
\(e^{-at}·u(t)\)	\(\frac{1}{s+a}\)	\(\mathbb{Re}\{s\} \gt -a\)
\(-e^{-at}·u(-t)\)	\(\frac{1}{s+a}\)	\(\mathbb{Re}\{s\} \lt -a\)
\(sen(at)·u(t)\)	\(\frac{a}{s+a^2}\)	Todo s
\(cos(at)·u(t)\)	\(\frac{s}{s+a^2}\)	Todo s
\(e^{-at}·sen(wt)·u(t)\)	\(\frac{w}{(s+a)^2+w^2}\)	Todo s
\(e^{-at}·cos(wt)·u(t)\)	\(\frac{s+a}{(s+a)^2+w^2}\)	Todo s
\(t^n·e^{-at}, n \in \mathbb{N}\)	\(\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}\)	\(\mathbb{Re}\{s\} \gt -a\)

Ref: http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/Laplace_Transform.html