Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden Lineal
Son ecuaciones diferenciales de la forma y' + p(x)·y = q(x).
Su solución general se forma sumando a la solución de la ecuación homogénea, una solución particular\[y_g = y_h + y_p\]
Solución de la Ecuación Homogénea
La ecuación homogénea asociada la EDOL-1 (ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden) es\[y_h' + p(x)·y_h = 0\]
Como se trata de una EDO-1 de variables separadas su solución es inmediata\[y_h' + p(x)·y_h = 0 \Rightarrow \frac{dy_h}{dx} = -p(x)·y_h \Rightarrow \frac{dy_h}{y_h} = -p(x)·dx \Rightarrow Ln|y_h| = -\displaystyle \int px(x)·dx \Rightarrow y_h(x) = C·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx}\]
Solución Particular por Variación de Parámetros
Podemos obtener una solución particular suponiendo que la constante de la solución homogénea es dependiente de x (C(x)) y obligando a que cumpla la EDOL\[y_p(x) = C(x)·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx}\]
Derivando la solución particular\[y_p' = C'(x)·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx} - C(x)·p(x)·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx}\]
Obligando a que cumpla la EDOL obtenemos\[y_p' + p(x)·y_p = q(x) \Rightarrow C'(x)·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx} - C(x)·p(x)·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx} + p(x)·C(x)·e^{-\displaystyle\int p(x)·dx} = q(x)\]
