Espacio Euclídeo
Un Espacio Euclídeo es una estructura algebraica formada por un Espacio Vectorial (𝕍) y una aplicación (·) llamada Producto Escalar.
Contenido
Producto Escalar
El Producto Escalar es una aplicación entre dos vectores que tiene como resultado un escalar. Puede expresarse como: \[ \begin{array}{rrcl} \langle \cdot,\cdot \rangle : & \; V \times V & \longrightarrow & \mathbb{K} \\ & (x,y) & \longrightarrow & a = \langle x, y \rangle \end{array} \]
Propiedades del Producto Escalar
Para que una aplicación sea producto escalar debe cumplir las siguientes propiedades:
- Definida Positiva: \(∀ \vec x ∈ \mathbb{V};~ \vec x · \vec x \ge 0\). Y \(\vec x · \vec x = 0 \Leftrightarrow \vec x = 0\)
- Conmutativa: \(∀ \vec x, \vec y ∈ \mathbb{V};~ \vec x · \vec y = \vec y · \vec x\)
- Asociativa: \(∀ \vec x, \vec y ∈ \mathbb{V}, \lambda ∈ \mathbb{R};~ (\lambda · \vec x) · \vec y = \lambda · (\vec x) · \vec y\)
- Distributiva: \(∀ \vec x, \vec y ∈ \mathbb{V}, \lambda ∈ \mathbb{R};~ \lambda · (\vec x + \vec y) = \lambda · \vec x + \lambda · \vec y\)
Norma de un Vector
La existencia de producto escalar nos permite definir la Norma de un Vector como\[|\vec x| = +\sqrt{\vec x · \vec x}\]
Y nos permite definir también los siguientes conceptos:
Distancia entre dos Vectores
La distancia entre dos vectores se define como\[d(\vec x, \vec y) = |\vec y - \vec x|\]
Ángulo entre dos Vectores
El ángulo entre dos vectores se define como\[\widehat{\vec x, \vec y} = \theta \rightarrow cos(\theta) = \frac{\vec x · \vec y}{|\vec x| · |\vec y|}\]
Ortogonalidad
Dos vectores son ortogonales si su ángulo es π/2. Lo cual equivale a\[\vec x · \vec y = 0\]
Vector Unitario
Llamamos vector unitario al que tiene norma 1\[|\vec u| = 1\]
Bases y Subespacios Ortogonales y Ortonormales
Extendiendo estos conceptos, es posible definir bases y subespacios ortogonales y ortonormales:
- Una Base es Ortogonal si está formada por vectores ortogonales entre sí.
- Una Base es Ortonormal si está formada por vectores unitarios ortogonales entre sí.
- Dos Subespacios son Ortogonales si todos los vectores del primero son ortogonales a todos los vectores del segundo.
- El Subespacio Ortogonal a un vector está formado por todos los vectores ortogonales al dado.
Matriz Métrica
Todo producto escalar puede definirse mediante una Matriz Métrica, tal que\[\vec x · \vec y = X·M·Y = \left(\begin{matrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix} \vec v_1 · \vec v_1 & \vec v_1 · \vec v_2 & \cdots & \vec v_1 · \vec v_n \\ \vec v_2 · \vec v_1 & \vec v_2 · \vec v_2 & \cdots & \vec v_2 · \vec v_n \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \vec v_n · \vec v_1 & \vec v_n · \vec v_2 & \cdots & \vec v_n · \vec v_n \end{matrix}\right) · \left(\begin{matrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{matrix}\right) \]
Donde las matrices X e Y son las matrices de coordenadas de los vectores en la base del subespacio \(B=\{\vec v_1, \vec v_2, \cdots, \vec v_n\}\) y M es la matriz métrica.
Puede observarse que, si la base B es ortogonal, la matriz M será diagonal. Y que si la base B es ortonormal, la matriz M será la matriz identidad.
Podemos utilizar la matriz métrica para comprobar que en todo producto escalar, los menores principales de la matriz métrica son todos positivos.