Diferencia entre revisiones de «Formas Bilineales»

Revisión de 10:42 11 ene 2014

Una forma bilineal (f) es una aplicación matemática que transforma dos vectores de un espacio vectorial en un escalar verificando que es lineal en ambos argumentos.

Definición

Sea 𝕍 un espacio vectorial y 𝕂 un cuerpo. Se define una aplicación bilineal entre 𝕍 y 𝕂 como\[f: 𝕍 \times 𝕍 \longrightarrow 𝕂\]

Generalmente 𝕍 es ℝⁿ y 𝕂 es ℝ (o ℂ)

Toda forma bilineal verifica que:

• \(f(α\vec u_1 + β\vec u_2, \vec v) = αf(\vec u_1,\vec v) + βf(\vec u_2, \vec v)\)
• \(f(\vec v, α\vec v_1 + β\vec v_2) = αf(\vec u,\vec v_1) + βf(\vec u, \vec v_2)\)

Propiedades

De la definición se tienen las siguientes propiedades:

• \(\ f(u,0)=f(0,u)=0\)
• \(\ f(-u,v)=f(u,-v)=-f(u,v)\)
• \(\ f(\sum_i a_i u_i,\sum_j b_jv_j)=\sum_i\sum_j a_ib_j f(u_i,v_j)\)

para todo \( a\in K\) y \( u,v,u_1,u_2,v_1,v_2 \in V \)

Expresión Matricial

Toda forma bilineal puede expresarse de forma matricial como: \[\vec u · F · \vec v^t = f(\vec u, \vec v)\]

Donde:

• \(\vec u, \vec v \in \mathbb{V}\)
• F: es la matriz asociada a la forma bilineal.

F se forma con los coeficientes de los productos de las coordenadas de los vectores en la expresión analítica de f. Por ejemplo:

Sea la forma bilineal f de ℝ2 en ℝ cuya expresión analítica es\[f(\vec x,\vec y) = 3 x_1 y_1 - 6 x_1 y_2 + 5 x_2 y_1 + 4 x_2 y_2 \]
Su expresión matricial es\[f(\vec x, \vec y)  = \vec x · F · \vec y^t =  
\left(\begin{matrix}
x_1 && x_2 
\end{matrix}\right) · 
\left(\begin{matrix}
3 && -6 \\
5 && 4
\end{matrix}\right) ·
\left(\begin{matrix}
y_1 \\
y_2
\end{matrix}\right)
\]

Forma Bilineal Simétrica y Antisimétrica

Se dice que una forma bilinal es simétrica si cumple que f(x,y) = f(y,x)

Se dice que una forma bilinal es antisimétrica si cumple que f(x,y) = -f(y,x)

Cualquier forma bilineal puede descomponerse en la suma de una forma bilineal simétrica y una forma bilineal antisimétrica de la siguiente forma: \[f(\vec x, \vec y) = \frac{1}{2}(f(\vec x, \vec y) + f(\vec x, \vec y)) + \frac{1}{2}(f(\vec x, \vec y) - f(\vec x, \vec y))\]

Cambios de Base y Matrices Congruentes

La matriz F asociada a la forma bilineal f generalmente está expresada respecto a la base canónica de 𝕍. Podemos expresar la forma bilineal f respecto a cualquier otra base de 𝕍 realizando un cambio de base, de forma que\[f(\vec x, \vec y) = \vec x·F·\vec y^t = \vec x·P·F·P^t·\vec y^t\]

Donde P es la matriz de cambio de base desde la base original a la nueva (\vec x' = \vec x·P). Podemos ver que la matriz asociada a la forma bilineal en la nueva base es F' = P·F·P^t

A las matrices F y F' se les denomina matrices congruentes porque representan la misma aplicación bilineal respecto a dos bases distintas.

Rango

Se denomina rango de una forma bilineal al rango de cualquiera de sus matrices asociadas (congruentes).

Si |F| = 0, se dice que la forma bilineal es degenerada.

Núcleo

Se denomina núcleo de una forma bilineal al conjunto de vectores de 𝕍 cuya imagen es 0. \[\mbox{Núcleo de f } ≡ \{\vec x \in 𝕍/f(\vec x,\vec y) = 0 ~ \forall \vec y \in 𝕍\}\]

Podemos calcular el núcleo de una forma bilineal resolviendo\[\vec x · F = \vec 0\]

Conjugación

Se dice que dos vectores de 𝕍 son conjugados si cumplen que \(f(\vec x,\vec y) = 0\)

También es posible definir un subespacio vectorial \(𝕍_1 \in 𝕍\) conjugado a otro subespacio \(𝕍_2 \in 𝕍\) como el conjunto de vectores de 𝕍 que son conjugados con cualquier vector de 𝕍₂. Es decir

\[𝕍_1 ≡ \{\vec x \in 𝕍/f(\vec x,\vec y) = 0 ~ \forall \vec y \in 𝕍_2\}\]

Forma Cuadrática Asociada

Toda forma bilineal f tiene una forma cuadrática asociada que se define como \(q(\vec x) = f(\vec x,\vec x)\)

Recíprocamente, toda forma cuadrática tiene asociada una forma bilineal que se denomina forma polar.

Referencias

• https://es.wikipedia.org/wiki/Forma_bilineal