Diferencia entre revisiones de «Integración por Partes»
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| − | + | == Regla ALPES == | |
| − | + | Una de las claves para resolver correctamente una integral por partes está en elegir correctamente cuál de las dos funciones del producto debe ser u(x) (y por tanto cuál debe ser v'(x)). Para elegir u(x) se utiliza la regla nemotécnica '''"ALPES"''', que establece que u(x) debe ser preferentemente: | |
| − | + | * '''A''': las funciones arco''algo'' (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcosecante, etc.). | |
| − | + | * '''L''': las funciones logarítmicas de cualquier base. | |
| + | * '''P''': las funciones polinómicas (x<sup>2</sup>+2, x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>+7...) incluyendo x y 1. | ||
| + | * '''E''': las funciones exponenciales. | ||
| + | * '''S''': las funciones senoidales y cosenoidales. | ||
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| + | Hay varios casos especiales de integrales por partes. Puedes ampliar el tema consultando: | ||
| + | * [[Integrales por Partes Reiteradas]] | ||
| + | * [[Integrales por Partes Unifuncionales]] | ||
| + | * [[Integrales por Partes Cíclicas]] | ||
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| + | [[Category:Integral Indefinida]] | ||
Última revisión de 13:00 23 abr 2013
La integración por partes es un método muy habitual para resolver integrales. Se basa en la derivada del producto de funciones:
Sean u(x) y v(x) dos funciones de \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), entonces, calculando la derivada del producto de ambas, tenemos que: \[\frac{d(u(x)\cdot v(x))}{dx} = \frac{du(x)}{dx}\cdot v(x) + u(x)\cdot\frac{dv(x)}{dx}\] Si integramos ambos miembros de la igualdad: \[\displaystyle \int \frac{d(u(x)\cdot v(x))}{dx} = u(x)\cdot v(x) = \int v(x)\cdot u'(x) dx + \int u(x)\cdot v'(x)dx\]
Por lo tanto:
\(\int u(x)\cdot v'(x)dx = u(x)\cdot v(x) - \int v(x)\cdot u'(x) dx \)
Expresión que suele recordarse por la frase nemotécnica un día vi una vaca vestida de uniforme que corresponde a la expresión matemática simplificada de la ecuación anterior:
\(u \cdot dv = u\cdot v - \int v\cdot du\)
Y que nos permite resolver integrales de la forma "\(\int u(x)\cdot v'(x)dx\)" donde v'(x) no es la derivada de u(x) (sino sería una integral compuesta).
Ejemplo
\[\displaystyle \int x\cdot e^x dx\]
\(\left . \begin{array}{ll} u(x) = x && u'(x) = 1 \\ v'(x) = e^x && v(x) = e^x \end{array} \right\}\Rightarrow \displaystyle \int x\cdot e^x dx = x\cdot e^x - \int 1\cdot e^x dx = x\cdot e^x - e^x + C\)
Regla ALPES
Una de las claves para resolver correctamente una integral por partes está en elegir correctamente cuál de las dos funciones del producto debe ser u(x) (y por tanto cuál debe ser v'(x)). Para elegir u(x) se utiliza la regla nemotécnica "ALPES", que establece que u(x) debe ser preferentemente:
- A: las funciones arcoalgo (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcosecante, etc.).
- L: las funciones logarítmicas de cualquier base.
- P: las funciones polinómicas (x2+2, x3+3x2+7...) incluyendo x y 1.
- E: las funciones exponenciales.
- S: las funciones senoidales y cosenoidales.
Ver También
Hay varios casos especiales de integrales por partes. Puedes ampliar el tema consultando:
