Límites

Entendemos como límite de una función en un punto al valor que tiende a alcanzar la función en ese punto, que puede ser distinto del valor que realmente tiene.

Definición Formal

\[ \begin{array}{l} \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array} \]

Cuya traducción informal es "si cuanto más nos acercamos a c (en el eje X), nos vamos acercando también a L (en el eje Y), entonces L es el límite de f(x) cuando x tiende a c.

Condición de Existencia de Límite

Para que exista el límite de f(x) cuando x tiende a c, debe cumplirse que existan los dos límites laterales (por la izquierda y por la derecha) y ambos coincidan.

Es decir\[\exists \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff \exists \underset {x\to c+}{\lim} \, \, f(x) = L ∧ \exists \underset {x\to c-}{\lim} \, \, f(x) = L\]

Cálculo de Límites

Para las funciones habituales (polinómicas, radicales, racionales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.) \(\underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = f(c)\), siempre que pertenezca al dominio de f(x).

Debemos tener especial cuidado en los siguientes puntos:

• Puntos que no pertenezcan al dominio, como los que anulan el denominador de las funciones racionales.
• Puntos de cambio en las funciones a trozos.

En estos puntos podemos encontrarnos con indeterminaciones, que pueden ser de los siguientes tipos:

∞/∞, ∞-∞, 0/0, 0·∞, 0⁰, ∞⁰ y 1^∞

Entre las técnicas para resolver estas indeterminaciones tenemos:

• Factorización de polinomios. Útil para indeterminaciones del tipo 0/0. Consiste en factorizar los polinomios del numerador y del denominador para eliminar factores comunes.
• Racionalización. Útil para indeterminaciones en funciones racionales de radicales.
• División por el término de mayor grado. Útil para resolver límites en el ∞ en funciones polinómicas.
• Tomar logaritmos en las funciones exponenciales.
• Regla de l'Hôpital, Útil para indeterminaciones del tipo 0/0 e ∞/∞ (y otros tipos por adaptación).
• Uso de Funciones Equivalentes.

Propiedades

• El límite, si existe, es único.
• Si no hay indeterminaciones, se cumple que:
  • \(\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x) \pm g(x)) = \lim_{x\to a}f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x)\)
  • \(\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x) · g(x)) = \lim_{x\to a}f(x) · \lim_{x\to a} g(x)\)
  • \(\displaystyle \lim_{x\to a}(\frac{f(x)}{g(x)}) = \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}\)
• Si \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = 0\) y g(x) está acotada en un entorno de a, entonces \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) · g(x) = 0\).
• Regla de Sandwich: Si se cumple que \(f(x) < g(x) < h(x) ~\forall x\in R(a)\) siendo R(a) un entorno reducido de a, y \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} h(x) = l \Rightarrow \lim_{x\to a} g(x) = l\).