Propiedades de los Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo

Las características de un sistema LTI están TOTALMENTE determinadas por su respuesta al impulso. Por lo tanto, sus propiedades pueden expresarse en relación a su respuesta al impulso.

Nota: Estas propiedades ÚNICAMENTE son válidas para sistemas LTI.

Propiedad Conmutativa

\(x[n]*h[n] = h[n]*x[n] = \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h[k]\cdot x[n-k]\)

\(x(t)*h(t) = h(t)*x(t) = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)\cdot x(t-\tau)\;d\tau\)

Propiedad Distributiva

\(x[n]*(h_1[n] + h_2[n]) = x[n]*h_1[n] + x[n]*h_2[n]\)

\(x(t)*(h_1(t) + h_2(t)) = x(t)*h_1(t) + x(t)*h_2(t)\)

Esta propiedad puede utilizarse para analizar la respuesta de un sistema formado por dos subsistemas que reciben la misma señal de entrada y cuyas salidas se suman.

Igualmente, combinando la propiedad conmutativa y la distributiva, podemos demostrar que la respuesta de un sistema LTI a la suma de dos entradas es igual a la suma de las respuestas individuales.

\((x_1[n] + x_2[n])*h[n]= x_1[n]*h[n] + x_2[n]*h[n]\)

\((x_1(t) + x_2(t))*h(t)= x_1(t)*h(t) + x_2(t)*h(t)\)

Propiedad Asociativa

\(x[n]*(h_1[n]*h_2[n]) = (x[n]*h_1[n])*h_2[n]\)

\(x(t)*(h_1(t)*h_2(t)) = (x(t)*h_1(t))*h_2(t)\)

Esta expresión (convolución en cascada) se corresponde a la interconexión de sistemas en serie.

Combinando las propiedades anteriores podemos demostrar que la respuesta al impulso de dos o más sistemas LTI en cascada es la convolución de sus respuestas individuales al impulso y no importa el orden en el que los conectemos (es conmutativa).

Sistemas LTI con y sin Memoria

En un sistema LTI sin memoria se cumple que su respuesta al impulso es nula para cualquier n ≠ 0 (si es discreto) t ≠ 0 (si es continuo). Esto quiere decir que su respuesta al impulso será de la forma:

\(h[n] = K\delta[n]\)

\(h(t) = K\delta(t)\)

Invertibilidad de Sistemas LTI

Si un sistema LTI es invertible, su inverso será también LTI.

La respuesta al impulso del inverso de un sistema LTI (h_I) debe cumplir que:

\(h[n]*h_I[n] = \delta[n]\)

\(h(t)*h_I(t) = \delta(t)\)

Causalidad de los Sistemas LTI

Para que un sistema LTI sea causal, su respuesta al impulso debe cumplir que:

\(h[n] = 0 \; \forall n < 0\) \(h(t) = 0 \; \forall t < 0\)

La condición de causalidad reduce los intervalos de la suma y la integral de convolución.

Estabilidad de los Sistemas LTI

Un sistema LTI será estable si su respuesta al impulso cumple que:

\(\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |h[k]| < \infty\)

Es decir, un sistema LTI discreto es estable si su respuesta al impulso es absolutamente sumable.

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |h(\tau)| d\tau < \infty\)

Es decir, un sistema LTI continuo es estable si su respuesta al impulso es absolutamente integrable.

Respuesta al Escalón Unitario de Sistemas LTI

La respuesta al escalón unitario de un sistema LTI (s) es la suma/integral de su respuesta al impulso:

\(s[n] = \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{n} h[k]\)

\(s(t) = \displaystyle \int_{-\infty}^{t} h(\tau) d\tau < \infty\)

Igualmente podemos expresar la respuesta al impulso como la diferencia/diferencial de la respuesta al escalón:

\(h[n] = s[n] - s[n-1]\)

\(h(t) = \frac{d s(t)}{dt}\)

Por lo tanto, la respuesta al escalón unitario también caracteriza a los sistemas LTI.