Sistemas LTI Discretos: La Suma de Convolución

Representación de Señales Discretas en Términos de Impulsos

Cualquier señal discreta (x[n]) puede expresarse como una combinación de impulsos desplazados en el tiempo.

\(x[n] = \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\delta[n-k]\)

A esta ecuación se le denomina propiedad de selección porque, como se puede ver, cada impulso del sumatorio solo "se activa" para una determinada k seleccionando el valor de x[n=k].

La Respuesta al Impulso Unitario Discreto y la Representación de la Suma de Convolución de Sistemas LTI

Al tratarse de sistemas LTI (lineales e invariantes en el tiempo), el estudio de la respuesta al impulso unitario del sistema nos permitirá conocer todo el comportamiento del sistema, pues podemos expresar cualquier señal como combinación de impulsos y sabemos que la respuesta al impulso en otro instante distinto de n=0 solo será la misma respuesta desplazada.

Esta propiedad nos permite expresar la respuesta de un sistema como su suma de convolución o suma de superposición:

\(y[n] = \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]\)

Donde h[n] = es la respuesta al impulso unitario del sistema.

La operación de convolución se expresa como y[n] = x[n]*h[n].